Skript - Universität Paderborn

6 1 Gruppen
Übung 1.1.10 (Abelsche Gruppen). Sei G ein Gruppe. Zeige:
1. Ist a 2 = e für alle a ∈ G, so ist G abelsch.
2. Ist (ab) −1 = a −1 b −1 für alle a, b ∈ G, so ist G abelsch.
Übung 1.1.11 (Quaternionen). Sei Q die 8-elementige Menge Q = {±1, ±i, ±j, ±k}.
Bestimme auf Q eine Gruppenstruktur mit neutralem Element +1, so dass zum einen die
gewöhnlichen Multiplikationsregeln für Vorzeichen gelten und zum anderen
i 2 = j 2 = k 2 = i · j · k = −1
gilt. Bestimme hierfür eine Gruppentafel, wobei die Assoziativität der Verknüpfung nicht
getestet werden soll. Ist die Gruppenstruktur eindeutig Ist Q kommutativ
1.2 Gruppenwirkungen
Diedergruppe und Graphenautomorphismen sind Beispiele für das allgemeine
Prinzip, nach dem man geometrische Symmetrien durch Gruppen beschreiben kann.
In seinem sogenannten Erlanger Programm (1872) hat Felix Klein den Standpunkt
sogar umgedreht und die Symmetriegruppe als die geometrische Essenz in
den Mittelpunkt seiner Betrachtung gestellt. Das bedeutet in etwa: Die geometrischen
Eigenschaften beispielsweise eines Dreiecks in der linearen Geometrie sind die
Eigenschaften, die unter allen linearen Bijektionen invariant bleiben.
Der entscheidende Begriff, der die präzise Beschreibung von Symmetrien ermöglicht,
ist die Gruppenwirkung.
Definition 1.2.1. Sei G eine Gruppe mit Einselement e und X eine beliebige nichtleere
Menge. Eine Abbildung
Φ: G × X → X, (g, x) ↦→ g · x
heißt eine Gruppenwirkung oder einfach eine Wirkung (auch der Name Gruppenoperation
wird verwendet) von G auf X, wenn gilt
(i) e · x = x für alle x ∈ X.
(ii) g · (h · x) = (gh) · x für alle g, h ∈ G und x ∈ X.
Manchmal ist es relevant zu betonen, dass (ii) ein Assoziativgesetz ist, solange man
die Gruppenelemente von links an die Elemente von X ”
multipliziert“. Man spricht
dann speziell von einer Linkswirkung.
Beispiel 1.2.2. (i) Bij(M) wirkt auf M via (ϕ, m) ↦→ ϕ(m).
(ii) Insbesondere wirkt S n auf {1, . . . , n} via (σ, k) ↦→ σ(k).
(iii) GL(n, K) wirkt auf K n via (g, v) ↦→ gv.
(iv) Sei Proj n (K) = {Kv | 0 ≠ v ∈ K n+1 } der n-dimensionale projektive Raum
über K. Dann wirkt GL(n + 1, K) auf Proj n (K) via (g, Kv) ↦→ K(gv).
⊓⊔
Einen besonders hohen Grad an Symmetrie weisen diejenigen Mengen X auf, für die
es Gruppenwirkungen gibt, mit denen man jeden Punkt von X in jeden beliebigen
Punkt von X abbilden kann.