Skript - Universität Paderborn

2.4 Faktorielle Ringe 49
Wenn f = ∑ k
j=0 a jX j und g = ∑ m
j=0 b jX j . Für p ∈ R gilt die Gleichheit f = pg
genau dann, wenn k = m und
∀j = 0, . . . , k : a j = pb j .
Dies zeigt, dass p genau dann alle Koeffizienten von f teilt, wenn p|f in R[X] gilt.
Lemma 2.4.8. Sei R faktoriell und f, g ∈ R[X] primitiv. Dann ist auch fg primitiv.
Beweis. Sei p ∈ R prim und p|fg. Da nach Lemma 2.4.6 p auch als Element von
R[X] prim ist, folgt p|f oder p|g im Widerspruch zur Primitivität von f und g. ⊓⊔
Lemma 2.4.9 (Gauß–Lemma).
von R. Weiter sei f ∈ K[X].
Sei R faktoriell und K der Quotientenkörper
(i) f = c(f)f 1 mit c(f) ∈ K und f 1 ∈ R[X] primitiv. Dabei ist c(f) bis auf
Vielfache in Unit(R) eindeutig bestimmt.
(ii) c(fg) ∈ c(f)c(g) Unit(R).
Beweis. Idee: c(f) wird aus Zähler und Nenner der Koeffizienten von f durch eine
passende ggT-Bildung konstruiert.
(i) Sei
f =
k∑
j=0
r j
s j
X j
mit r j , s j ∈ R und d := s 0 · · · s k . Dann gilt df ∈ R[X]. Wenn d ′ ein ggT
von d r 0
s 0
, . . . , d r k
sk
und a := d d
ist, dann ist f ′ 1 = af primitiv. Dies zeigt die
Existenzaussage. Für die Eindeutigkeit nehmen wir an
f = cf 1 = ˜c ˜f 1
mit f 1 , ˜f 1 ∈ R[X] primitiv und c, ˜c ∈ K. Wir schreiben c = a ã
b
und ˜c = mit
˜b
a, b, ã,˜b ∈ R. Dann sind a˜b und ãb ggT’s der Koeffizienten von g := a˜bf 1 = ãb ˜f 1 .
Also gibt es ein u ∈ Unit(R) mit a˜b = uãb, das dann c = u˜c erfüllt.
(ii) Wenn f = c(f)f 1 und g = c(g)g 1 , dann gilt fg = c(f)c(g)f 1 g 1 und f 1 g 1 ist nach
Lemma 2.4.8 primitiv. Damit folgt die Behauptung aus der Eindeutigkeitsaussage
von Teil (i).
Man nennt das Element c(f) ∈ K für f ∈ K[X] den Inhalt von f. Der Inhalt ist
nur bis auf Vielfache in den Einheiten von R bestimmt (ähnlich wie der ggT). Wenn
f ∈ R[X], dann kann man f = rf 1 mit r ∈ R und f 1 ∈ R[X] primitiv schreiben
indem man einen ggT der Koeffizienten von f ausklammert. Insbesondere ist also
der Inhalt eines Polynoms in R[X] ein Element von R.
⊓⊔
Lemma 2.4.10. Sei R faktoriell und K der Quotientenkörper von R. Weiter sei
f ∈ R[X].
(i) Wenn deg(f) = 0, dann ist f genau dann prim, wenn es prim als Element von
R ist.
(ii) Wenn deg(f) > 0, dann ist f genau dann prim, wenn f primitiv ist und irreduzibel
(d.h. prim) in K[X].