Skript - Universität Paderborn

(a) ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) für alle x, y ∈ R.
(b) ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) für alle x, y ∈ R.
(a) ϕ(1 R ) = 1 S .
2.1 Ringe und Ideale 33
Wir bezeichnen das Bild von ϕ mit im (ϕ) und den Kern ϕ −1 (0 S ) von ϕ mit ker (ϕ).
Wenn ϕ bijektiv ist, heißt ϕ ein Isomorphismus.
Es folgt unmittelbar aus den Definitionen, dass im (ϕ) ein Unterring von S ist,
während ker (ϕ) niemals ein Unterring von R, aber immer ein Ideal in R ist.
Beispiel 2.1.11. (i) Sei n ∈ Z. Dann ist nZ = {nx ∈ Z | x ∈ Z} ein Ideal in
Z. Da jedes Ideal in Z automatisch eine Untergruppe von (Z, +) ist, zeigt die
nachfolgende Proposition 2.1.12, dass hat diese Gestalt hat.
(ii) Die Auswertung einer Funktion an einer Stelle x liefert Ringhomomorphismen
ev x : C k (]a, b[) → R, f ↦→ f(x). Allgemeiner kann man Funktionen auch auf
Teilmengen einschränken, z.B.
rest ]c,d[ : C k (]a, b[) → C k (]c, d[),
f ↦→ f| ]c,d[
für ein Teilintervall ]c, d[ ⊆ ]a, b[. Die zugehörigen Kerne bestehen aus den Funktionen,
die auf {x} bzw. ]c, d[ verschwinden.
(iii) Der Ring R = Mat(n × n, K) enthält keine Ideale außer {0} und R. In der Tat,
durch geeignete Multiplikation von links und rechts mit Matrizen, die nur einen
von 0 verschiedenen Eintrag haben, sieht man, dass jedes von {0} verschiedene
Ideal alle solche Matrizen und dann ganz R enthält.
(iv) Sei R ein kommutativer Ring. Dann ist aR für jedes a ∈ R ein Ideal, das man
das von a erzeugte Hauptideal nennt.
(v) Sei R ein kommutativer Ring und A ⊆ R. Dann ist { ∑ n
j=1 a jr j | r j ∈ R, a j ∈
A, n ∈ N} ein Ideal, das man das von A erzeugte Ideal nennt. ( )
r 0
(vi) Sei R = R und R ′ = Mat(2 × 2, R). Dann ist die durch ϕ(r) = definierte
Abbildung ( ) ϕ: R → R ′ ein Ringhomomorphismus, nicht dagegen die durch
0 r
r 0
ψ(r) = definierte Abbildung (erhält die Eins nicht).
0 0
Proposition 2.1.12. Jede Untergruppe I von (Z, +) ist von der Form dZ mit d ∈
N ∪ {0}.
Beweis. Wenn I = {0} ist, dann wählen wir d = 0. Andernfalls finden wir ein von
Null verschiedenes Element n ∈ I. Wegen I − I ⊆ I ist dann auch −n ∈ I und wir
können annehmen, dass n > 0 ist. Sei d die kleinste positive Zahl in I und k ∈ I.
Teilen mit Rest liefert k = md + r für ein m ∈ Z und 0 ≤ r < d. Weil aber NI ⊆ I
und I = −I gilt, haben wir ZI ⊆ I. Also gilt r = k − md ∈ I, so dass wegen der
Minimalität von d die Gleichheit r = 0 und somit k ∈ dZ folgt. Da umgekehrt mit
d auch dZ in I ist, gilt I = dZ.
⊓⊔
Bemerkung 2.1.13. Seien S ⊆ R kommutative Ringe und A = {f : R → R | f
Polynomfunktion in einer Variablen} (d.h. f(λ) = a 0 + a 1 λ + . . . + a n λ n ). Wir
definieren eine Abbildung Φ: S[X] → A durch
Φ ( a 0 + a 1 X + . . . + a n X n) (λ) = ( a 0 + a 1 Φ(X) + . . . + a n Φ(X) n) (λ)
= a 0 + a 1 λ + . . . + a n λ n .