Skript - Universität Paderborn

56 3 Moduln
(ii) M/IM ist ein R/I-Modul via
(r + I)(m + IM) = rm + IM, (m 1 + IM) + (m 2 + IM) = (m 1 + m 2 ) + IM.
Übung 3.1.3. Sei M eine R-Modul und N ⊆ P Untermoduln von M. Zeige:
(i) N ein Untermodul von P .
(ii) P/N ist ein Untermodul von M/N.
(ii) M/P ist isomorph zu (M/N)/(P/N) als R-Modul.
Übung 3.1.4. Ein Modul M über einem Ring R heißt einfach, falls er nicht der Nullmodul
ist und keine echten Untermoduln enthält.
1. Man zeige, dass ein einfacher Modul zu R/I (als R-Modul) isomorph ist, wobei I ein
maximales Links-Ideal ist.
2. Man beweise das Schursche Lemma: Sei ϕ : M → N ein Homomorphismus von einfachen
R-Moduln. Dann ist entweder ϕ gleich Null oder ϕ ist ein Isomorphismus.
3.2 Basen und freie Moduln
Definition 3.2.1. Sei M ein Links-R-Modul und E ⊆ M eine Teilmenge. Dann
heißt
〈E〉 := ⋂ {N ⊆ M | E ⊆ N, N Untermodul}
der von E erzeugte Links-R-Modul.
Endliche Summen der Form ∑ r j m j mit r j ∈ R und m j ∈ M bezeichnen wir
als R-Linearkombinationen.
Proposition 3.2.2. Sei M ein Links-R-Modul. Für E ⊂ M gilt
{ }
∑
〈E〉 = r j e j | r j ∈ R, e j ∈ E .
endl.
Beweis. Die rechte Seite ist offensichtlich ein Untermodul, der E enthält (wegen
1 ∈ R). Aber dann liefert die Definition, dass 〈E〉 in der rechten Seite enthalten ist.
Umgekehrt enthält jeder Untermodul mit E auch alle R-Linearkombinationen von
E. ⊓⊔
Definition 3.2.3. Sei R ein Ring und M ein Links-R-Modul sowie E ⊆ M. Man
sagt, E erzeugt M oder spannt M auf, wenn 〈E〉 = M. Wenn M von einer
endlichen Teilmenge aufgespannt wird, so heißt M endlich erzeugt. Die Menge
E heißt R-unabhängig, wenn (∀n ∈ N)(∀r i ∈ R)(∀m j ∈ E paarweise verschieden)
gilt
r 1 m 1 + . . . + r n m n = 0 ⇒ r 1 = . . . = r n = 0.
Wenn E den Modul M erzeugt und R-unabhängig ist, dann heißt E eine R-Basis
von M. Dies ist äquivalent dazu, dass jedes Element von M auf genau eine Weise
(bis auf die Reihenfolge) als R-Linearkombination der Basiselemente geschrieben
werden kann. Schließlich heißt M heißt ein freier (Links-)R-Modul, wenn es eine
R-Basis für M gibt.