Skript - Universität Paderborn

5.2 Die Galoisgruppe 95
Satz 5.2.14. Seien K ⊆ B ⊆ L Körper, wobei B der Zerfällungskörper von f ∈
K[X]. Dann gilt:
(i) Gal(L/B) ✂ Gal(L/K).
(ii) Es gibt eine natürliche Einbettung Gal(L/K)/Gal(L/B) ↩→ Gal(B/K) = Gal K (f),
die surjektiv ist, wenn L selbst Zerfällungskörper eines Polynoms g ∈ K[X] über
K ist.
Beweis. Die Abbilddung
ψ : Gal(L/K) → Gal(B/K)
σ ↦→ σ| B
ist ein Gruppenhomomorphismus (vgl. Lemma 5.2.13) mit Kern
ker (ψ) = {σ ∈ Gal(L/K) | σ| B = id B } = Gal(L/B)
und das beweist (i). Weiter sieht man, dass ψ zu einem injektiven Gruppenhomomorphismus
ψ : Gal(L/K)/Gal(L/B) −→ Gal(B/K)
faktorisiert.
Zu zeigen bleibt noch, dass ψ surjektiv ist, falls L selbst ein Zerfällungskörper
ist: Dazu sei τ ∈ Gal(B/K). Nach Satz 4.2.16 gibt es ein ˜τ ∈ Aut(L) mit ˜τ| B = τ.
Aber dann ist ˜τ| K = id K und daher ˜τ ∈ Gal(L/K). Also ergibt sich ψ(˜τ) = ˜τ| B = τ
und damit die Behauptung.
⊓⊔
Lemma 5.2.15. Sei L/K eine Körpererweiterung und A, B Zwischenkörper. Sei AB
der von A und B erzeugte Unterkörper von L (genannt das Kompositum von A
und B).
(i) Wenn A/K eine Radikalerweiterung ist, dann ist auch AB/B eine Radikalerweiterung.
(ii) Wenn AB/B und B/K Radikalerweiterungen sind, dann ist auch AB/K eine
Radikalerweiterung.
Beweis. (i) Seien A j /A j−1 reine Körpererweiterungen mit A j = A j−1 (α j ), wobei
α n j
j ∈ A j−1 gelten soll. Dann gilt A j B = A j−1 B(α j ) und α n j
j ∈ A j−1 B. Also ist
A j B/A j−1 B eine reine Körpererweiterung und die Behauptung folgt.
(ii) Dieser Teil ist klar.
⊓⊔
Bemerkung 5.2.16. Sei L/K eine Körpererweiterung und σ ∈ Gal(L/K). Wenn
B/K eine Radikalerweiterung ist und B ⊆ L, dann ist auch σ(B)/K eine Radikalerweiterung.
Lemma 5.2.17. Sei f ∈ K[X] durch Radikale auflösbar, dann existiert eine Radikalerweiterung
E/K mit folgender Eigenschaft:
E enthält den Zerfällungskörper L von f und ist selbst Zerfällungskörper eines
Polynoms g ∈ K[X].