Skript - Universität Paderborn

5.4 Der Hauptsatz der Galoistheorie 101
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Korollar 5.4.3. Jede endliche Teilmenge {σ 1 , . . . , σ n } von Aut(L) ist, betrachtet
als Teilmenge von Aut(L × ) (hier Gruppenautomorphismen), linear unabhängig in
(L) L× .
Definition 5.4.4. Sei L ein Körper und G ⊆ Aut(L). Dann heißt
L G := {α ∈ L | σ(α) = α (∀ σ ∈ G)}
der Fixkörper von G in L (man verifiziert sofort, dass dies tatsächlich ein Unterkörper
ist).
Beispiel 5.4.5. (i) Sei L/K eine Körpererweiterung und G := Gal(L/K). Dann
gilt K ⊆ L G ⊆ L.
(ii) Sei L = K(X 1 , . . . , X n ) der Körper der rationalen Funktionen in den Variablen
X 1 , . . . , X n , d.h. der Quotientenkörper von K[X 1 , . . . , X n ]. Dann wirkt G := S n
auf L durch Permutation der Variablen, und L G ist der Körpter der symmetrischen
rationalen Funktionen, der von
erzeugt wird.
x 1 + . . . + x n ,
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + . . . + x n−1 x n ,
.
x 1 · · · x n
Lemma 5.4.6. Sei G = {σ 1 , . . . , σ n } ⊆ Aut(L). Dann gilt [L : L G ] ≥ n.
Beweis. Wir nehmen an, dass [L : L G ] = r < n und wählen eine L G -Basis
{α 1 , . . . , α r } für L. Das durch die Matrix ( σ j (α i ) ) i=1...r gegebene, homogene lineare
j=1...n
Gleichungssystem hat eine Lösung (x 1 , . . . , x n ) ≠ 0 (mehr Variablen als Gleichungen).
Wenn jetzt β ∈ L, dann läßt sich β als β =
r ∑
i=1
b i α i mit b i ∈ L G schreiben.
Multipliziert man die i-te Zeile des obigen Gleichungssystems mit σ 1 (b i ) = σ 2 (b i ) =
. . . = σ n (b i ), so findet man die Gleichung
0 = σ 1 (b i )σ 1 (α i )x 1 + . . . + σ n (b i )σ n (α i )x n = σ 1 (b i α i )x 1 + . . . + σ n (b i α i )x n .
Addiert man diese Gleichungen, ergibt sich σ 1 (β)x 1 + . . . + σ n (β)x n = 0 für alle
β ∈ L und somit ein Widerspruch zu Lemma 5.4.2.
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Satz 5.4.7. Für eine Untergruppe G = {σ 1 , . . . , σ n } ≤ Aut(L) gilt [L : L G ] = |G|.
Beweis. Wegen Lemma 5.4.6 bleibt nur zu zeigen, dass [L : L G ] ≤ |G|. Dazu nehmen
wir [L : L G ] > n an und wählen über L G linear unabhängige Elemente w 1 , . . . , w n+1
von L. Das durch die Matrix ( σ i (w j ) ) i=1...n gegebene lineare Gleichungssystem
j=1...n+1
hat wieder eine Lösung (x 1 , . . . , x n+1 ) ≠ 0 und wir wählen eine Lösung mit minimaler
Anzahl von Komponenten ungleich Null. Nach einer Umnumerierung haben wir
dann (x 1 , . . . , x r , 0, . . . , 0) mit x j ≠ 0 für j = 1, . . . , r und wir können auch x r = 1
annehmen. Beachte, dass r > 1, weil sonst σ 1 (w 1 )x 1 = 0, was auf σ 1 (w 1 ) = 0 führen
würde. Außerdem können nicht alle x j ∈ L G sein, weil für σ i = id die i-te Gleichung