Skript - Universität Paderborn

44 2 Ringe
(ii) Setze
〈a, b〉 := {na + mb | n, m ∈ R}
für a, b ∈ R. Dann rechnet man sofort nach, dass 〈a, b〉 ein Ideal in R ist, also
nach Voraussetzung von der Form dR. Dann ist d ein gemeinsamer Teiler von a
und b. Da aber d ∈ 〈a, b〉 ist, gibt es n, m ∈ R mit d = na + mb. Daher ist jeder
gemeinsame Teiler von a und b auch Teiler von d. Also ist d ein ggT von a und
b.
Um die Eindeutigkeitsaussage zu zeigen, nehmen wir an, dass d und d ′ jeweils
ggTs von a und b sind. Dann gibt es r, r ′ ∈ R mit dr = d ′ und d = d ′ r ′ , also
d = drr ′ . Wegen Proposition 2.2.3 liefert dies 1 = rr ′ (R ist insbesondere eine
Integritätsbereich), d.h. r und r ′ sind Einheiten in R.
Beachte, dass aus der Existenz eines ggT von zwei Elementen sofort auf die
Existenz eines ggT von endlich vielen Elementen geschlossen werden kann.
⊓⊔
Algorithmus 2.3.6 (Euklid). Sei R ein euklidischer Ring mit Gradfunktion
g. Um einen ggT zu berechnen, geht man vor wie für die ganzen Zahlen: Seien
a, b ∈ R \ {0} und o.B.d.A. g(a) ≤ g(b). Schreibe b = qa + r mit r = 0 oder
g(r) < g(a). Wenn r = 0, dann ist a ein ggT von a und b. Wenn r ≠ 0, dann ist
jeder ggT von a und r auch ein ggT von a und b. Also wiederholt man das Verfahren
für r und a. Weil der minimale Grad der beiden Elemente in jedem Schritt echt
abnimmt, terminiert das Verfahren. In Formeln ausgedrückt:
b = q 1 a + r 1 deg(r 1 ) < deg(g)
a = q 2 r 1 + r 2 deg(r 2 ) < deg(r 1 )
.
r j = q j+2 r j+1 + r j+2 deg(r j+2 ) < deg(r j+1 )
.
r n = q n+2 r n+1 + 0
Jetzt kann man überprüfen, dass r n+1 = ggT(a, b) gilt. Wegen r n+1 | r n und
r n−1 = q n+2 r n + r n+1 findet man r n+1 | r n−1 etc., d.h. letztendlich
r n+1 | a, b
und das liefert r n+1 | ggT(a, b). Umgekehrt, wenn d | a, b, so erhält man erst d | r 1 ,
dann d | r 2 etc., also schließlich d | r n+1 und damit ggT(a, b) = r n+1 . Beachte, dass
r n+1 = r n−1 − q n+1 r n
= r n−1 − q n+1 (r n−2 − q n r n−1 )
= (−q n+1 )r n−2 + (1 + q n q n+1 )r n−1
.
= na + mb,
wobei m, n ∈ R durch Division mit Rest bestimmbar sind.
Übung 2.3.1. Sei R ein Hauptidealring. Zeige: k Elemente a 1 , . . . , a k ∈ R haben einen
bis auf Äquivalenz eindeutigen ggT und dieser ist in der Menge { ∑ k
j=1
mjaj | mj ∈ R}
enthalten.