Skript - Universität Paderborn

50 2 Ringe
Beweis. Idee: Man führt das auf Lemma 2.4.6 und das Gauß–Lemma 2.4.9 zurück.
(i) Wenn f ∈ R[X] Grad Null hat und prim in R[X] ist, ist es automatisch prim
auch in R. Die Umkehrung folgt aus Lemma 2.4.6.
(ii) Wir nehmen an, f ∈ R[X] sei prim und f = rf 1 mit r ∈ R und f 1 ∈ R[X]
primitiv. Dann gilt f|f 1 weil f|r wegen Grad f > 0 nicht möglich ist. Mit
Proposition 2.2.13(i) folgt r ∈ Unit(R), d.h. f ist primitiv.
Wenn f = gh mit g, h ∈ K[X] mit deg(g), deg(h) > 0, dann gilt c(g)c(h) ∈ R,
d.h. es gibt ein r ∈ R und primitive Polynome positiven Grades g 1 , h 1 ∈ R[X]
mit f = rg 1 h 1 im Widerspruch dazu, dass f prim ist. Also ist f irreduzibel in
K[X].
Umgekehrt nehmen wir jetzt an, dass f primitiv ist und irreduzibel in K[X]. Es
gelte f|gh mit g, h ∈ R[X]. Da f als Element von K[X] prim ist (Bemerkung
2.4.4), können wir o.B.d.A. annehmen, dass f|g in K[X]. Also gibt es ein k ∈
K[X] mit fk = g. Da f primitiv ist, gilt c(g) ∈ c(k) Unit(R), also c(k) ∈ R und
schließlich k ∈ R[X]. Damit haben wir f|g auch in R[X].
⊓⊔
Satz 2.4.11 (Gauß). Sei R ein faktorieller Ring. Dann ist auch der Polynomring
R[X] faktoriell.
Beweis. Idee: Kombiniere Lemma 2.4.10 mit dem Gauß–Lemma 2.4.9.
Sei 0 ≠ f ∈ R[X]. Dann haben wir f = f 1 · · · f k mit f j ∈ K[X] irreduzibel (und
wir können die Zerlegung so wählen, dass deg(f j ) > 0 für j > 1). Wir schreiben
f i = c(f i )g i mit g i ∈ R[X] primitiv. Dann sind die g i immer noch irreduzibel
in K[X], also prim in R[X] nach Lemma 2.4.10. Wegen Lemma 2.4.9 gilt c :=
c(f 1 ) · · · c(f k ) ∈ c(f) Unit(R) ⊆ R und wir schreiben c = p 1 · · · p l mit p i prim in R
falls c keine Einheit ist. Wieder mit Lemma 2.4.10 sehen wir, dass die diejenigen p i
mit deg(g i ) > 0 prim in R[X] sind. Falls deg(g 1 ) = 0 gilt g 1 ∈ Unit(R), d.h. wir
können annehmen, dass g 1 = 1. Zusammen haben wir die f = c ∈ Unit(R) falls
k = 1 und c = c(f 1 ) ∈ Unit(R) ist oder Zerlegungen in Primelemente der folgenden
Form ⎧
p 1 · · · p l g 1 · · · g k falls deg(g 1 ) > 0 und c ∉ Unit(R),
⎪⎨
(cg 1 )g 2 · · · g k falls deg(g 1 ) > 0 und c ∈ Unit(R),
f =
p 1 · · · p l g 2 · · · g k falls deg(g 1 ) = 0 und c ∉ Unit(R),
⎪⎩
(cg 2 )g 3 · · · g k falls deg(g 1 ) = 0 und c ∈ Unit(R).
.
⊓⊔
Übung 2.4.1 (Ringtypen). Ordne die Begriffe Ring, kommutativer Ring, Körper, Integritätsbereich,
Hauptidealring, euklidischer Ring, faktorieller Ring in einem Diagramm
an. Bestimme Beispiele für die einzelnen Ringe. Welche Eigenschaften vererben sich von
einem Ring auf den Polynomring in einer/mehreren Veränderlichen
Übung 2.4.2. Sei R faktoriell und K der Quotientenkörper von R, f ∈ R[X] und g ∈
K[X]. Zeige: Wenn die höchsten Koeffizienten von f und g gleich 1 sind und g|f, dann ist
g ∈ R[X].
Übung 2.4.3. Es sei Z[i] := {a + bi | a, b, ∈ Z; i 2
Zahlen).
= −1} (Ring der ganzen Gaußschen