Skript - Universität Paderborn

2.4 Faktorielle Ringe 47
Beweis. Idee: Man zeigt, dass p 1 assoziiert zu einem q j ist und wendet Induktion über
die Anzahl der Primfaktoren an.
Weil p 1 | q 1 (q 2 · · · q l ), gilt p 1 | q 1 oder p 1 | q 2 · · · q l , d.h. letztendlich finden wir
ein q j mit p 1 | q j . Es gibt also ein a ∈ R mit p 1 a = q j . Da aber auch q j prim ist,
folgt aus Proposition 2.2.13, dass a ∈ Unit(R). Also sind p 1 und q j assoziiert. Wir
setzen j 1 := j und können o.B.d.A. annehmen, dass j 1 = 1.
Wenn k = 1, dann ist r = p 1 prim und l = 1, da das Produkt von Nichteinheiten
keine Einheit sein kann.
Wenn k > 1, dann können wir schreiben r = p 1 r ′ mit r ′ = p 2 · · · p k . Dann gibt
es eine Einheit u ∈ R mit up 1 = q 1 , also r ′ = uq 2 · · · q l und die Behauptung folgt
mit Induktion.
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Man sieht sofort, dass man jedes von Null verschiedene Element in einem faktoriellen
Ring in der Form up 1 · · · p k mit u ∈ Unit(R) und p i prim schreiben kann.
Satz 2.4.3. Sei R ein euklidischer Ring. Dann ist R faktoriell.
Beweis. Idee: Induktion über den Grad von r, Teilen mit Rest und Lemma 2.3.8.
Sei r ∈ R. Wir wollen zeigen, dass r entweder eine Einheit ist oder sich als
Produkt r = p 1 · · · p k von Primelementen p 1 , . . . , p k ∈ R schreiben lässt. Dazu
machen wir eine Induktion über den Grad g(r) von r, d.h. wir nehmen an, dass
jedes Element von kleinerem Grad entweder eine Einheit ist oder als Produkt von
Primelementen geschrieben werden kann.
Wenn r eine Einheit oder ein Primelement ist, ist nichts mehr zu zeigen. Daher
können wir annehmen, dass 0 ≠ r ∈ R \ Unit(R) kein Primelement ist. Dann gibt
es a, b ∈ R mit r|ab, nicht aber r|a oder r|b.
Man kann a und b so wählen kann, dass g(a), g(b) < g(r). Um das einzusehen,
teilen wir a und b mit Rest durch r und finden
a = cr + a ′ , b = dr + b ′
mit a ′ ≠ 0 ≠ b ′ sowie g(a ′ ), g(b ′ ) < g(r). Außerdem gilt r|a ′ b ′ , nicht aber r|a ′ oder
r|b ′ . Mit anderen Worten, a ′ und b ′ haben die gewünschten Eigenschaften.
Wir wählen jetzt a und b mit den genannten Eigenschaften so, dass g(a) minimal
ist. Weil a und b keine Einheiten sind (andernfalls hätte man r|b bzw. r|a) folgt aus
g(a), g(b) < g(r), dass sich a und b als Produkte von Primelementen schreiben
lassen:
a = p 1 · · · p k , b = q 1 · · · q l .
Schreibe jetzt ab = rs mit s ∈ R. Weil p 1 prim ist, folgt p 1 |r oder p 1 |s. Wir
zeigen, dass der Fall p 1 |s nicht auftreten kann: Dazu schreibt man a = p 1 a ′ und
s = p 1 s ′ . Dann gilt rp 1 s ′ = rs = ab = p 1 a ′ b, also rs ′ = a ′ b. Beachte, dass a kein
Teiler von a ′ sein kann, weil ar ′ = a ′ die Gleichung p 1 r ′ a ′ = a ′ , also p 1 r ′ = 1 zur
Folge hätte. Dann wäre p 1 eine Einheit im Widerspruch zur Voraussetzung, dass
p 1 prim ist. Also haben wir a ′ |a und a̸ | a ′ , sodass Lemma 2.3.8 die Ungleichung
g(a ′ ) < g(a) liefert. Da aber r|a ′ b sowie r̸ | b und r̸ | a ′ (andernfalls gälte r|a), ist
dies ein Widerspruch zur Minimalität von g(a).
Wir haben also jetzt gezeigt, dass p 1 |r, d.h. es gibt ein r 1 ∈ R mit r = p 1 r 1 .
Dann gilt r 1 |r und wie zuvor sieht man, dass r 1̸ | r, weil p 1 keine Einheit ist. Also
liefert Lemma 2.3.8 diesmal, dass g(r) > g(r ′ ). Also r 1 entweder eine Einheit oder
das Produkt von Primelementen. Aber dann ist r = p 1 r ′ in jedem Falle ein Produkt
von Primelementen.
⊓⊔