Skript - Universität Paderborn

96 5 Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale
Beweis. Sei K = L 0 ⊆ L 1 ⊆ . . . ⊆ L l eine Radikalerweiterung mit L ⊆ L l . Wenn
L j = L j−1 (α j ), dann gilt L l = K(α 1 , . . . , α l ). Sei jetzt m j ∈ K[X] das Minimalpolynom
von α j über K. Wir listen die Nullstellen der m j auf:
m 1 : α 1 = α (1)
1 , . . . , α(r 1)
1 ❀ M 1
.
.
m l : α l = α (1)
l
, . . . , α (r l)
l
❀ M l
.
Sei E der Zerfällungskörper von ∏ l
j=1 m j, d.h. E = K ( {α (i)
j | i, j} ) , wobei E j =
K({α (i)
j | i}) der Zerfällungskörper von m j ist. Für σ ∈ Gal(C/K) betrachte den
Körperturm
K ⊆ σ(L 1 ) ⊆ . . . ⊆ σ(L l ).
σ(L l )/K ist eine Radikalerweiterung, also liefert Lemma 5.2.15, dass σ 1 (L l ) · . . . ·
σ s (L l )/K eine Radikalerweiterung ist, wobei wir Gal(C/K) = {σ 1 , . . . , σ s } schreiben.
Da α 1 , . . . , α l ∈ L l und Gal(E/K) transitiv auf den Mengen M j wirkt, finden
wir σ 1 (L l ) · . . . · σ s (L l ) = E. Dabei ist zu beachten, dass nach Proposition 5.2.12 die
Gruppe Gal(E j /K) transitiv auf M j wirkt. Dann sagt Satz 4.2.16, dass die Elemente
von Gal(E j /K) sich zu Elementen von Gal(C/K) fortsetzen lassen. Zusammen findet
man, dass E/K eine Radikalerweiterung ist, die L als Zwischenkörper enthält. ⊓⊔
Definition 5.2.18. Sei G eine Gruppe und G ′ = [G, G] die Kommutatorgruppe
von G. Wir setzen G (0) := G sowie G (1) := G ′ und dann induktiv G (i+1) := ( G (i)) ′
für i ∈ N. Es gilt dann
G ⊇ G (1) ⊇ G (2) ⊇ . . .
und wir nennen G auflösbar, wenn es ein j ∈ N 0 mit G (j) = {1} gibt.
Satz 5.2.19. Sei G eine Gruppe. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent:
(1) G ist auflösbar.
(2) Es gibt eine Kette G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ . . . ⊃ G n = {1} von Untergruppen von G
mit G j ✂ G j−1 und G j−1 /G j abelsch.
(3) (Dieser Teil hat nur für endliche G Gültigkeit.) Es gibt eine Kette G = G 0 ⊃
. . . ⊃ G l = {1} von Untergruppen von G mit G j ✂ G j−1 und |G j−1 /G j | prim.
Beweis. ”
(1)⇒(2)“: Wähle G j = G (j) .
” (2)⇒(1)“: Wenn G j−1/G j abelsch ist, dann gilt G ′ j−1 ⊆ G j und dies liefert G (j) ⊆
G j , also die Behauptung.
” (3)⇒(2)“: Wenn |G j−1/G j | = p, dann gilt G j−1 /G j = Z/pZ, weil jedes von Eins
verschiedene Element die Gruppe zyklisch erzeugt. Insbesondere ist die Gruppe
abelsch.
(2)⇒(3)“: Wir beweisen zunächst mit Induktion über die Ordnung, dass jede endliche
abelsche Gruppe A eine Untergruppe mit Primzahlindex hat: Beachte dazu
”
zunächst, dass jedes Element g von G endliche Ordnung hat. Zerlegt man die
Ordnung in ihre Primfaktoren und ersetzt g durch eine passende Potenz, so findet
man ein Element mit Primzahlordnung p. Dieses Element erzeugt dann eine
Untergruppe B, die isomorph zu Z/pZ ist und insbesondere p Elemente hat.
Wenn B = G, ist die Behauptung bewiesen. Wenn nicht, dann findet man mit
Induktion eine Untergruppe C ⊆ A, die B enthält, mit [A : C] = [A/B : C/B]
prim.
Jetzt beweisen wir (3) durch Induktion über |G|. Dazu genügt es einen Normalteiler
H ✂ G mit G 1 ≤ H und [G : H] prim zu finden (dann wendet man
Induktion auf H an). Aber dazu brauchen wir nur eine Untergruppe von G/G 1
mit Primzahlindex zu finden, was wir oben schon erledigt haben.
⊓⊔