Skript - Universität Paderborn

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Körpererweiterungen
4.1 Nullstellen von Polynomen
Definition 4.1.1. Sei R ein kommutativer Ring und F ∈ R[X]. Dann heißt r ∈ R
eine Wurzel oder Nullstelle von F , wenn die Auswertung von F in r Null ergibt,
d.h. wenn F (r) = 0 (vgl. Bemerkung 2.1.13).
Lemma 4.1.2. Sei R ein kommutativer Ring, F ≠ 0 ∈ R[X] und r ∈ R. Dann gibt
es ein G ∈ R[X] mit
F = (X − r)G + F (r) und deg F = 1 + deg G.
Also ist r genau dann eine Nullstelle von F , wenn F = (X − r)G mit deg G =
deg F − 1.
Beweis. Sei m = deg F und F = a 0 + a 1 X + . . . + a m X m , dann gilt
F − F (r) = a 1 (X − r) + a 2 (X 2 − r 2 ) + . . . + a m (X m − r m ).
Wegen
gilt
X k − r k = (X − r) ( X k−1 + rX k−2 + . . . + r k−2 X + r
} {{ k−1 )
}
=:G k
F = (X − r) ( )
a 1 G 1 + a 2 G 2 + . . . + a m G
} {{ m + F (r)
}
=:G
und dies liefert deg(G) = deg(G m ) = m − 1.
⊓⊔
Satz 4.1.3. Sei R ein Integritätsbereich und λ 1 , . . . , λ k ∈ R verschiedene Wurzeln
von F ≠ 0 ∈ R[X]. Dann gibt es ein H ∈ R[X] mit
F = (X − λ 1 ) · · · (X − λ k )H.
Beweis. Wir führen eine Induktion nach k durch:
k = 1: Dies ist gerade Lemma 4.1.2.