Skript - Universität Paderborn

Beweis. Idee: Führe eine passende Ordnung auf N k 0 ein.
2.2 Integritätsbereiche 37
Wir betrachten folgende Ordnung auf N k 0: i < j, wenn es ein k o ∈ {1, . . . , k} gibt
mit i m = j m für m < k o und i ko < j ko . Diese Ordnung heißt die lexikographische
Ordnung und ist total, d.h. für zwei verschiedene Multiindizes i und j gilt entweder
i < j oder j < i. Außerdem gilt
i < j; l ≤ m =⇒ i + l < j + m,
wobei l ≤ m bedeutet l < m oder l = m (Übung).
Wenn jetzt F = ∑ i∈N
a k i X i und G = ∑
0
i∈N
b k i X i zwei von Null verschiedene
0
Elemente von R[[X 1 , . . . , X k ]] sind, dann gibt es ein bzgl. der lexikographischen
Ordnung minimales l o , für das a lo ≠ 0 gilt. Analog haben wir ein minimales m o
mit b mo ≠ 0. Dann ist aber der Koeffizient von l o + m o in F · G gerade a lo · b mo ,
also von Null verschieden.
⊓⊔
Der folgende Satz verallgemeinert die Konstruktion der rationalen aus den ganzen
Zahlen.
Satz 2.2.5 (Quotientenkörper). Sei R ein Integritätsbereich.
(i) Sei S = R × (R \ {0}). Dann definiert
(a, b) ∼ (c, d) :⇔ ad = bc
eine Äquivalenzrelation auf S.
(ii) Bezeichne die Äquivalenzklasse von (a, b) mit a b
und die Menge der Äquivalenzklassen
mit Q(R). Dann definieren
a
b + c ad + bc
:=
d bd
und
a
b · c ac
:=
d bd
zwei Abbildungen Q(R) × Q(R) → Q(R) bzgl. derer (Q(R), +, ·) ein Körper mit
Nullelement 0 1 und Einselement 1 1 ist.
(iii) Das additive Inverse von a b
−a
ist
b
und das multiplikative Inverse von a b mit
a ≠ 0 ist b a .
Beweis. Idee: Wesentlich ist Teil (i). Für die Transitivität der Relation braucht man
die Nullteilerfreiheit. Der Rest ist eine Routineverifikation.
Wegen der Kommutativität von R ist die Relation ∼ symmetrisch. Die Reflexivität
ist offensichtlich. Sei jetzt (a, b) ∼ (c, d) und (c, d) ∼ (e, f). Dann gilt
adf = bcf = bde
und daher d(af −be) = 0. Weil d ≠ 0, zeigt die Nullteilerfreiheit jetzt, dass af = be,
d.h. (a, b) ∼ (e, f). Damit ist die Transitivität von ∼ gezeigt. Das Argument zeigt
auch, dass
ad
bd = a b
für d ≠ 0. Man kann also in Brüchen von Null verschiedene Element kürzen. Der
Rest des Beweises ist Routine, wobei zuerst der Nachweis der Wohldefiniertheit der
Verknüpfungen geführt werden muss (Übung).
⊓⊔