Skript - Universität Paderborn

106 5 Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale
Beweis. Sei w ∈ K primitive p-te Einheitswurzel. Dann gilt N(w) = w p = 1 und für
G = Gal(L/K) zeigt der Hauptsatz 5.4.16 der Galoistheorie |G| = p, also G ∼ = F p .
Mit einem Erzeuger σ schreiben wir G = 〈σ〉 und Lemma 5.4.19 liefert ein β ∈ L
mit w = βσ(β) −1 . Dann gilt σ(β) = βw −1 und mit σ(β p ) = (βw −1 ) p = β p folgt
β p ∈ L G = K. Wegen w ≠ 1 erhalten wir β /∈ K und für K(β) ∈ ZW(L/K) findet
man
[K(β) : K] | [L
} {{
: K
}
].
=p
Aber dann gilt [K(β) : K] = p das zeigt K(β) = L, d.h. die Behauptung.
⊓⊔
Satz 5.4.21 (Galois). Sei K eine Körper der Charakteristik char K = 0 und L/K
eine Galoiserweiterung mit auflösbarer Galoisgruppe G = Gal(L/K). Dann gibt
es eine Radikalerweiterung ˜L/K mit L ⊆ ˜L. Insbesondere gilt mit Satz 5.3.10 für
f ∈ K[X]:
f(x) durch Radikale auflösbar ⇐⇒ Gal K (f) auflösbar.
Beweis. Wir beweisen dies mit Induktion über [L : K]. Der Fall [L : K] = 1 ist klar.
Sei also [L : K] > 1. Korollar 5.2.19 liefert einen Normalteiler H ✂G mit [G : H] = p
prim. Sei jetzt w primitive p-te Einheitswurzel und ˜K := K(w). Für ˜L = L(w)
ist dann ˜L/K eine Galoiserweiterung (betrachte das Polynom f(X p − 1), wenn L
Zerfällungskörper von f ist). Da ˜L der Zerfällungskörper von X p − 1 über ˜K ist, ist
˜L/˜K eine Galoiserweiterung. Außerdem ist ˜K/K eine reine Erweiterung. Wenn jetzt
˜L ⊆ ˜F, ˜F/˜K eine Radikalerweiterung ist, dann ist ˜F/K eine Radikalerweiterung und
es gilt L ⊆ ˜F. Aber dann gilt
und ˜G ist auflösbar.
˜G := Gal(˜L/˜K) ϕ
↩→ Gal(L/K)
1. Fall Für | ˜G| < |G| gilt [˜L : ˜K] < [L : K] und Induktion liefert eine Radikalerweiterung
˜F/˜K mit ˜L ⊆ ˜F, was dann die Behauptung beweist.
2. Fall Für | ˜G| = |G| setze Ẽ := ˜L ˜H und ˜H = ϕ −1 (H). Dann gilt ˜G ϕ ∼ = G und
Ẽ/˜K ist Galoiserweiterung mit
[Ẽ : ˜K] = [ ˜G : ˜H] = [G : H] = p.
Aber ˜K/K ist rein und ˜L/Ẽ ist eine Galoiserweiterung mit
[˜L : Ẽ] = | ˜H| = |H| < [L : K].
Außerdem ist Gal(˜L/Ẽ) = ˜H auflösbar. Jetzt liefert wieder Induktion
eine Radikalerweiterung ˜F/Ẽ mit ˜L ⊆ ˜F. Mit Korollar 5.4.20 erhält man
jetzt
K rein
⊆
˜K
rein
⊆ Ẽ rad.
⊆ ˜F.
Also ist ˜F/K eine Radikalerweiterung, die ˜L enthält, und das zeigt die
Behauptung.
⊓⊔