Skript - Universität Paderborn

1.3 Untergruppen 15
Bemerkung 1.3.14. Sei G eine endliche Gruppe.
(i) Sei G × X → X eine Gruppenwirkung und X endlich. Da X die disjunkte
Vereinigung aller Bahnen ist, gilt
|X| =
∑
|B|.
B∈G\X
(ii) Sei U ≤ G eine Untergruppe. Dann wirkt U auf G via u · g = gu −1 . Die Bahnen
dieser U-Wirkung sind gerade die U-Linksnebenklassen in G. Jede Nebenklasse
gU hat genauso viele Elemente wie U, d.h. |gU| = |U|. Mit (i) erhalten wir also
[G : U] = |G|
|U| .
Diese Gleichung ist bekannt unter dem Namen Satz von Lagrange .
(iii) Mit (ii) und Proposition 1.3.11 erhält man jetzt für eine Gruppenwirkung G ×
X → X:
|G|
|G x | = |G · x| = [G : G x].
Je nach Quelle heißt die linke oder die rechte Identität die Bahnengleichung.
⊓⊔
Gruppentheoretische Überlegungen der hier präsentierten Art lassen sich oft auf
kombinatorische Probleme mit Symmetrieeigenschaften anwenden. Wir wollen das
am Beispiel des folgenden Problems illustrieren:
Problem: Wieviele Möglichkeiten hat man, die Zahl 1000 als Produkt von drei
natürlichen Zahlen zu schreiben (wobei es auf die Reihenfolge nicht ankommt)
Als Vorbereitung für die Lösung beweisen wir das sogenannte Burnside-Lemma.
Lemma 1.3.15 (Burnside). Sei G eine endliche Gruppe und G × X → X eine
Wirkung von G auf einer endlichen Menge X. Weiter sei g ∈ G und
Fix(g) = {x ∈ X | g · x = x}
die Menge der Fixpunkte von g in X. Dann gilt
|G\X| = 1 ∑
|Fix(g)|,
|G|
d.h. die Anzahl der Bahnen ist gleich der durchschnittlichen Anzahl von Fixpunkten.
Beweis. Idee: Zerlege M := {(g, x) ∈ G × X | g · x = x} auf zwei verschiedene Weisen
in disjunkte Teilmengen.
g∈G
Für M := {(g, x) ∈ G × X | g · x = x} gilt
G x = {g ∈ G | (g, x) ∈ M},
Fix(g) = {x ∈ X | (g, x) ∈ M},
und daher haben wir die disjunkten Zerlegungen
⋃ ( . Gx × {x} ) = M = ⋃ ( )
. {g} × Fix(g) .
x∈X
g∈G