Skript - Universität Paderborn

82 4 Körpererweiterungen
Beweis. Nach Satz 4.2.4 gibt es eine Körpererweiterung L/K so, dass f über L
zerfällt, d.h. es gibt α 1 , . . . , α n ∈ L mit
f =
n∏
(X − α j ) rj .
j=1
Aber dann ist K(α 1 , . . . , α n ) ein Zerfällungskörper von f. Die zweite Behauptung
folgt sofort aus Satz 4.2.9, weil die α j alle algebraisch über K sind.
⊓⊔
Lemma 4.2.15. Seien K ⊆ B ⊆ L Körper mit [L : B], [B : K] < ∞. Dann ist L/K
endlich und es gilt
[L : K] = [L : B][B : K].
Beweis. Sei {α 1 , . . . , α m } eine B-Basis für L und {β 1 , . . . , β n } eine K-Basis für B.
Behauptung: {β j α i | i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n} ist eine K-Basis für L.
Die Menge ist erzeugend, denn für γ ∈ L findet man eine Darstellung γ = ∑ b i α i
i
mit b i ∈ B und für die b i ’s findet man Darstellungen ∑ c ij β j mit c ij ∈ K. Zusammen
j
ergibt sich γ = ∑ c ij β j α i .
i,j
Wenn ∑ c ij β j α i = 0 und c ij ∈ K, so folgt zunächst aus ∑ ( ∑ )
c ij β j αi = 0,
i,j
i j
dass ∑ c ij β j = 0 für alle i und daraus dann c ij = 0 für alle i, j. Also ist die Menge
j
auch linear unabhängig.
⊓⊔
Satz 4.2.16. Sei σ : K → K ′ ein Körperisomorphismus und f ∈ K[X]. Weiter
seien L und L ′ Zerfällungskörper von f bzw. f ′ := σ ∗ (f). Dann gibt es einen
Körperisomorphismus ˜σ : L → L ′ mit ˜σ| K = σ.
Beweis. Wir verwenden Induktion über [L : K]. Wenn [L : K] = 1, dann gilt L = K,
d.h. f zerfällt über K und dementsprechend zerfällt f ′ über K ′ . Also muss auch
L ′ = K ′ gelten und man kann (und muss) ˜σ := σ wählen.
Im Falle [L : K] > 1 zerfällt f nicht über K. Daher gibt es ein irreduzibles
Polynom p ∈ K[X] mit deg(p) ≥ 2 und p | f. Sei β ∈ L eine Nullstelle von p (und
damit auch von f). Wenn β ′ ∈ L ′ eine Nullstelle von p ′ := σ ∗ (p) ist, dann gibt es
nach Korollar 4.2.11 einen Körperisomorphismus ˇσ : K(β) → K ′ (β ′ ) mit ˇσ(β) = β ′ .
Beachte, dass L automatisch ein Zerfällungskörper von f über K(β) ist, so wie auch
L ′ Zerfällungskörper von f ′ über K ′ (β ′ ) ist. Nach Lemma 4.2.15 gilt
[L : K(β)] =
[L : K]
< [L : K],
[K(β) : K]
also zeigt Induktion, dass es einen Körperisomorphismus ˜σ : L → L ′ mit ˜σ| K(β) = ˇσ
gibt. Zusammen erhalten wir ˜σ| K = ˇσ| K = σ und das zeigt die Behauptung. ⊓⊔
Korollar 4.2.17. Seien L, L ′ Zerfällungskörper von f ∈ K[X]. Dann gibt es einen
Körperisomorphismus σ : L → L ′ mit σ| K = id K .
Mit diesem Korollar können wir also von dem Zerfällungskörper eines Polynoms
sprechen.
Übung 4.2.1 (Minimalpolynom). Man bestimme das Minimalpolynom von √ 2+ √ 7 zum
einen über Q und zum anderen über Q( √ 2).