Skript - Universität Paderborn

8 1 Gruppen
(iii) Sei C + := {z ∈ C | Im z > 0} die obere Halbebene. Dann ist C + ein homogener
Raum bzgl. der Wirkung von SL(2, R), die durch gebrochen lineare
Abbildungen, d.h. durch
( )
a b
· z = az + b
c d cz + d
gegeben ist (Übung).
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Die nächsten Beispiele illustrieren den Umstand, dass man nicht nur Symmetrien,
sondern auch (reversible) dynamische Systeme durch Gruppenwirkungen modellieren
kann. Allgemein kann man ein reversibles dynamisches System als eine
Gruppenwirkung von (Z, +) (im diskreten Fall) oder von (R, +) (im kontinuierlichen
Fall) auf einer Menge definieren.
Beispiel 1.2.8. (i) Sei A ∈ GL(n, K). Dann wirkt (Z, +) auf K n via (k, v) ↦→ A k v.
(ii) Sei A ∈ Mat(n × n, C). Dann wirkt (R, +) auf C n via (t, v) ↦→ e tA v.
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Beispiel 1.2.9. Sei f : R n → R n eine Funktion, für die die Differentialgleichung
ẋ(t) = f ( x(t) ) mit dem Anfangswert x(0) = p ∈ R n für jedes p eine eindeutig
bestimmte Lösung x p : R → R n hat. Dann definiert t · p = x p (t) eine Wirkung von
(R, +) auf R n . Um das einzusehen, stellt man zunächst fest, dass
0 · p = x p (0) = p.
Für s ∈ R setzt man y(t) = x p (t + s), dann gilt y(0) = x p (s) = s · p und die
Kettenregel liefert
Also gilt y = x s·p woraus
ẏ(t) = ẋ p (t + s) = f ( x p (t + s) ) = f ( y(t) ) .
t · (s · p) = y(t) = x p (t + s) = (t + s) · p
folgt. Beachte, dass in diesem Beispiel die Bahnen der Wirkung gerade die zeitlichen
Trajektorien des dynamischen Systems sind.
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Von besonderer Bedeutung sind Gruppenwirkungen auf Vektorräumen, für die
die Abbildungen v ↦→ g · v linear sind. Solche Wirkungen heißen auch (lineare)
Darstellungen der Gruppe.
Definition 1.2.10. Sei G eine Gruppe und V ein Vektorraum. Eine Wirkung
Φ: G × V → V heißt eine Darstellung, wenn für jedes g ∈ G die Abbildung
V → V,
v ↦→ g · v
linear ist.
Beispiel 1.2.11. Die Wirkung von GL(n, K) auf K n ist eine Darstellung.
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