Skript - Universität Paderborn

5.3 Primitive Einheitswurzeln 99
Beweis. Da α primitiv ist, folgt {ξ ∈ L n | ξ n = 1} ⊆ K(α) und X n − 1 zerfällt über
K(α). Es folgt L n ⊂ K(α). Umgekehrt K(α) ⊆ L n , weil α ∈ L n . Wir haben also
K(α) = L n . Außerdem sehen wir, dass für jedes σ ∈ Gal(K(α)/K) gilt σ(α) = α j(σ)
(mit passendem j(σ) ∈ Z). Da aber α, und somit auch σ(α), ein Erzeuger von
{ξ ∈ L n | ξ n = 1} ist, sehen wir ggT(j(σ), n) = 1 und dies zeigt, dass
Gal(K(α)/K) → Z/nZ
σ ↦→ j(σ) + nZ
ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist. Daraus folgt aber direkt die Behauptung.
⊓⊔
Beispiel 5.3.8. Sei p ∈ N prim. Dann ist ζ = e 2πi
p
eine primitive p-te Einheitswurzel
über Q und X p −1 hat den Zerfällungskörper Q(ζ). Schreibe X p −1 = (x−1)Φ p
mit dem irreduziblen Kreisteilungspolynom Φ p (vgl. Korollar 4.4.8). Dann gilt
[Q(ζ) : Q] = p − 1 und nach Satz 5.3.7 und seinem Beweis ist Gal(Q(ζ)/Q) isomorph
zu einer Untergruppe von F × p . Mit F × ∼ p = Z/(p − 1)Z
Gal(Q(ζ)/Q) ∼ = (F p \ {0}, ·) ∼ = (Z/(p − 1)Z, +).
Satz 5.3.9. Sei K ein Körper der Charakteristik char(K) = 0 und ζ ∈ K eine n-te
primitive Einheitswurzel. Weiter sei L der Zerfällungskörper von f = X n −a ∈ K[X]
über K. Dann induziert die Einschränkung auf M = {α ∈ L | f(α) = 0} einen
injektiven Homomorphismus
ϕ : Gal(L/K) → Z/nZ.
Dieser ist surjektiv genau dann, wenn f irreduzibel über K ist.
Beweis. Sei α ∈ M. Dann gilt M = {α, ζα, . . . , ζ n−1 α} und für σ ∈ Gal(L/K)
haben wir σ(α) = ζ j α mit einem passenden j ∈ {0, . . . , n−1}. Durch ϕ(σ) := j+nZ
wird dann der gesuchte injektive Gruppenhomomorphismus ϕ : Gal(L/K) → Z/nZ
definiert. Er ist genau dann surjektiv, wenn Gal(L/K) transitiv auf M operiert und
das ist nach Proposition 5.2.12 genau dann der Fall, wenn f irreduzibel über K
ist.
⊓⊔
Satz 5.3.10. Sei K ein Körper der Charakteristik char(K) = 0 und f ∈ K[X]
auflösbar durch Radikale. Dann ist Gal K (f) ist auflösbar.
Beweis. Sei L der Zerfällungskörper von f über K. Dann gilt Gal K (f) = Gal(L/K).
Sei K = B 0 ⊆ B 1 ⊆ . . . ⊆ B t eine Radikalerweiterung mit B t ⊇ L. Nach Lemma
5.2.17 können wir annehmen, dass B t Zerfällungskörper von g ∈ K[X] ist. Sei
deg(f) = n und ζ eine primitive n!-te Einheitswurzel. Dann enthält K(ζ) alle p-
ten Einheitswurzeln für p | n! prim (vgl. Satz 5.2.22) und außerdem ist K(ζ) der
Zerfällungskörper von X n! − 1 über K. Betrachte die Kette von Erweiterungen
K ⊆ K(ζ) ⊆ B 1 (ζ) ⊆ . . . ⊆ B t (ζ).
Dann ist B t (ζ)/K eine Radikalerweiterung und Satz 5.2.14 liefert einen injektiven
Gruppenhomomorphismus
Gal ( B t (ζ)/K ) /Gal ( B t (ζ)/K(ζ) ) ↩→ Gal ( K(ζ)/K ) .