Skript - Universität Paderborn

2 1 Gruppen
◦ g 1 g 2 g 3 . . .
g 1 g 1 g 1 g 1 g 2 g 1 g 3 . . .
g 2 g 2 g 1 g 2 g 2 g 2 g 3 . . .
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Proposition 1.1.3. Sei (G, ◦) eine Gruppe. Dann gilt
(i) Es gibt nur ein Einselement.
(ii) Zu jedem x ∈ G gibt es nur ein Inverses. Dieses wird mit x −1 bzw. mit −x (in
der additiven Schreibweise) bezeichnet.
(iii) (a −1 ) −1 = a, (ab) −1 = b −1 a −1 für alle a, b ∈ G.
(iv) ax = ay =⇒ x = y für alle a, x, y ∈ G (kürzen von links).
(v) xa = ya =⇒ x = y für alle a, x, y ∈ G (kürzen von rechts).
Beweis. Idee: Für (i) und (ii) nimmt man die Existenz von zwei passenden Elementen
an und läßt jedes einmal die Rolle des Eins- bzw. inversen Elements in der Definition
spielen. Der Rest folgt sofort aus den Definitionen.
(i) Seien e und f Einselemente. Dann gilt e = ef = f.
(ii) Seien x ′ und x ′′ Inverse von x. Dann gilt
x ′ = ex ′ = (x ′′ x)x ′ = x ′′ (xx ′ ) = x ′′ e = x ′′ .
(iii) Wegen aa −1 = a −1 a = e ist a das Inverse von a −1 , d.h. a = (a −1 ) −1 . Wegen
(ab)(b −1 a −1 ) = a(bb −1 )a −1 = aea −1 = aa −1 = e
und
(b −1 a −1 )(ab) = b −1 a −1 ab = b −1 eb = b −1 b = e
gilt außerdem (ab) −1 = b −1 a −1 .
(iv) Aus ax = ay folgt x = a −1 (ax) = a −1 (ay) = y.
(v) Aus xa = ya folgt x = (xa)a −1 = (ya)a −1 = y.
⊓⊔
Die folgende Proposition zeigt, dass die Gruppenaxiome nicht frei von Redundanz
sind. D.h., um zu überprüfen, dass eine Verknüpfung auf einer Menge eine
Gruppenstruktur definiert, kann man sich etwas Arbeit sparen.
Proposition 1.1.4. Sei G eine nichtleere Menge und ◦: G×G → G eine Abbildung
mit folgenden Eigenschaften:
(a) Es existiert ein e ∈ G mit e ◦ x = x für alle x ∈ G.
(b) Zu jedem x ∈ G gibt es ein y ∈ G mit y ◦ x = e.
(c) Für ◦ gilt das Assoziativgesetz.
Dann ist (G, ◦) eine Gruppe mit Einselement e.
Beweis. Idee: Man zeigt zunächst, dass aus x◦y = e schon y◦x = e folgt, weil y◦x dann
idempotent ist, d.h. (y ◦ x) ◦ (y ◦ x) = y ◦ x. Der Rest ist dann klar mit den Definitionen.
Seien x, y ∈ G und y ◦ x = e. Zeige zuerst: x ◦ y = e. Dazu setze z := x ◦ y und
rechne
z ◦ z = (x ◦ y) ◦ (x ◦ y) = x ◦ (y ◦ x) ◦ y = x ◦ e ◦ y = x ◦ y = z.