Skript - Universität Paderborn

1.4 Homomorphismen, Normalteiler und Quotientengruppen 27
Übung 1.4.13. Gibt es einen Gruppenisomorphismus ϕ : (Q, +) → (Q \ {0}, ·)
Übung 1.4.14. Sei G eine Gruppe, und sei U eine Untergruppe von G. Zeige:
⋂
gUg −1
ist ein Normalteiler von G.
g∈G
Übung 1.4.15. Seien G eine Gruppe und n ∈ N. Zeige: Besitzt G genau eine Untergruppe
mit [G : H] = n, so gilt H ✂ G.
Übung 1.4.16. Seien G, H Gruppen und ϕ : G → H ein Isomorphismus. Zeige: ϕ −1 :
H → G ist auch ein Isomorphismus.
Übung 1.4.17. Seien G 1 und G 2 zyklische Gruppen der Ordnung m und n mit ggT(m, n) =
1. Zeige: (G 1 × G 2 , ◦) ist eine zyklische Gruppe der Ordnung m · n, wobei (x, y) ◦ (x ′ , y ′ ) =
(xx ′ , yy ′ ).
Übung 1.4.18. Sei Q die Quaternionengruppe aus Aufgabe 5 und G = SL(2, C). Bestimme
einen injektiven Gruppenhomomorphismus ϕ : Q → G.
Hinweis: Untersuche zunächst, welche Matrizen A ∈ G die Bedingung A 2 = −1 erfüllen.
Übung 1.4.19. Sei G eine Gruppe, und sei X die Menge ihrer Untergruppen. Zeige:
1. G operiert auf X durch Konjugation Φ : G × X → X, (g, H) ↦→ gHg −1 ,
2. eine Bahn dieser Operation besteht genau dann aus einem einzigen Element H, wenn
H ein Normalteiler von G ist,
3. gilt |G| = p n für eine Primzahl p, und ist r die Anzahl der Normalteiler von G, so gilt
p ∣ ∣ |X| − r .
Übung 1.4.20. Sei H ein Normalteiler in G mit Index n. Zeige, dass g n ∈ H für alle g ∈ G.
Zeige anhand eines Beispiels, dass Untergruppen N ≤ G, die keine Normalteiler sind, diese
Eigenschaft im Allgemeinen nicht haben.
Übung 1.4.21. Für welche m, n ∈ N ist
ϕ : Z/mZ → Z/nZ, k + mZ ↦→ k + nZ
eine wohldefinierte Abbildung Zeige, dass in diesem Fall ϕ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus
ist.
Übung 1.4.22. Es sei G eine Gruppe.
1. Seien U und V Untergruppen von G, so dass U ∩ V = {e} und U · V = G gilt. Zeige
die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(i) Die Abbildung ϕ : U × V → G, (u, v) ↦→ u · v ist ein Isomorphismus.
(ii) Die Untergruppen U und V sind Normalteiler.
2. Sei U eine Untergruppe von G. Zeige, dass der Normalisator N G (U) von U in G die
größte Untergruppe von G ist, in der U Normalteiler ist.
Übung 1.4.23 (Innere Automorphismen). Sei G eine Gruppe mit Zentrum Z(G) = {a ∈
G | ∀g ∈ G ag = ga}, und
Inn(G) = {ϕ ∈ Aut(G) | ∃h ∈ G ∀g ∈ G : ϕ(g) = hgh −1 }
die Gruppe der inneren Automorphismen von G. Man zeige:
1. Ist G/Z(G) zyklisch, so ist G abelsch.
2. Es gilt Inn(G) ∼ = G/Z(G).