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Inhaltsverzeichnis 1 Gruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Die Gruppenaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Gruppenwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Homomorphismen, Normalteiler und Quotientengruppen . . . . . . . . . . 18 2 Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1 Ringe und Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Integritätsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Euklidische Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4 Faktorielle Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3 Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1 Die Modulaxiome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 Basen und freie Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3 Moduln über euklidischen Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4 Anwendung auf lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4 Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.1 Nullstellen von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2 Zerfällungskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3 Primkörper und Charakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.4 Irreduzibilitätskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.5 Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5 Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.1 Separabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2 Die Galoisgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.3 Primitive Einheitswurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.4 Der Hauptsatz der Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1 Gruppen In diesem Kapitel werden elementare Strukturaussagen für Gruppen bewiesen. Kanonisch ergeben sich aus der Definition einer Gruppe die Begriffe Untergruppe und Quotientengruppe, wobei die Suche nach einem geeigneten Quotientenbegriff auf das Konzept des Normalteilers führt. Ebenso kanonisch ist der Begriff des Gruppenhomomorphismus, der den Vergleich verschiedener Gruppen möglich macht. Wir beziehen von Anfang an auch Gruppenwirkungen auf Mengen in unsere Überlegungen mit ein, die eine abstrakte Fassung des Symmetriebegriffs darstellen, und somit einer der wesentlichen Ausgangspunkte für die Gruppentheorie als algebraische Disziplin sind. 1.1 Die Gruppenaxiome Definition 1.1.1. Sei G ≠ ∅ eine Menge und ◦: G × G → G eine Abbildung. Betrachte die folgenden Eigenschaften. (i) (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) für alle x, y, z ∈ G (Assoziativgesetz). (ii) Es existiert ein e ∈ G mit e ◦ x = x = x ◦ e für alle x ∈ G (Einselement). (iii) Zu jedem x ∈ G existiert ein y ∈ G mit y ◦ x = e = x ◦ y (inverses Element). (iv) x ◦ y = y ◦ x für alle x, y ∈ G (Kommutativgesetz) . (a) (G, ◦) heißt Halbgruppe, wenn (i) gilt. (b) (G, ◦) heißt Monoid, wenn (i) und (ii) gilt. (c) (G, ◦) heißt Gruppe, wenn (i), (ii) und (iii) gilt. (d) (G, ◦) heißt abelsche Gruppe, wenn (i) - (iv) gilt. Bemerkung 1.1.2. (i) Das Assoziativgesetz erlaubt das Weglassen von Klammern bei mehrfachen Verknüpfungen. (ii) Wenn das Kommutativitätsgesetz gilt, dann schreibt man häufig + statt ◦ (additive Schreibweise). (iii) Wenn das Kommutativitätsgesetz nicht gilt, läßt man oft das Verknüpfungssymbol ganz weg. ⊓⊔ Für kleine Gruppen ist es sinnvoll, die Gruppenmultiplikation in Form einer Gruppentafel darzustellen:
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Seite 6 und 7: 2 1 Gruppen ◦ g 1 g 2 g 3 . . . g
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Seite 12 und 13: 8 1 Gruppen (iii) Sei C + := {z ∈
Seite 14 und 15: 10 1 Gruppen Übung 1.2.6. Seien G
Seite 16 und 17: 12 1 Gruppen (i) Für jede Familie
Seite 18 und 19: 14 1 Gruppen Die Abbildung G/U →
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Seite 22 und 23: 18 1 Gruppen 1.4 Homomorphismen, No
Seite 24 und 25: 20 1 Gruppen (iii) ϕ ist genau dan
Seite 26 und 27: 22 1 Gruppen (vii) Sei ϕ: G → H
Seite 28 und 29: 24 1 Gruppen (ii) gN = Ng für alle
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Seite 34 und 35: 30 2 Ringe (iii) Die n×n-Matrizen
Seite 36 und 37: 32 2 Ringe R[[X 1 , . . . , X k ]]
Seite 38 und 39: 34 2 Ringe Offensichtlich ist Φ :
Seite 40 und 41: 36 2 Ringe 2. Für a ∈ R × und x
Seite 42 und 43: 38 2 Ringe Der in Satz 2.2.5 konstr
Seite 44 und 45: 40 2 Ringe Proposition 2.2.13. Sei
Seite 46 und 47: 42 2 Ringe 2.3 Euklidische Ringe Sa
Seite 48 und 49: 44 2 Ringe (ii) Setze 〈a, b〉 :=
Seite 50 und 51: 46 2 Ringe (iii) Man zeige, dass di
Seite 52 und 53: 48 2 Ringe Allgemeiner kann man zei
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50 2 Ringe Beweis. Idee: Man führt
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3 Moduln In diesem Kapitel werden e
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3.1 Die Modulaxiome 55 (ii) Seien V
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3.2 Basen und freie Moduln 57 Beisp
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} (r · f)(λ) = r · f(λ) (f + f
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3.2 Basen und freie Moduln 61 Bemer
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3.3 Moduln über euklidischen Ringe
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3.4 Anwendung auf lineare Abbildung
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76 4 Körpererweiterungen k ≥ 1:
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78 4 Körpererweiterungen ⊓⊔ Ü
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88 4 Körpererweiterungen Beweis. D
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100 5 Auflösbarkeit von Gleichunge
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Sachverzeichnis Φ p , Kreisteilung
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Sachverzeichnis 111 einfache, 22 or
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Sachverzeichnis 113 eines Polynoms,
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