Skript - Universität Paderborn

3.4 Anwendung auf lineare Abbildungen 69
1. Ergibt die Rechnung den 26. April, so fällt der Ostersonntag auf den 19. April;
2. Ergibt die Rechnung d = 28, e = 6 und ist der Rest der Division von 11M + 11 durch
30 kleiner als 19, so fällt dieser Ostersonntag nicht wie nach der Rechnung auf den
25., sondern auf den 18. April.
In welchen Jahren des 20. Jahrhunderts fiel der Ostersonntag auf den 1. April
Übung 3.3.6 (Jacobsen Radikal). Sei R ein Ring und M ein R-Modul. Der Durchschnitt
aller maximalen Untermoduln heißt Jacobsen Radikal und wird mit Rad(M) bezeichnet.
Falls M keine maximalen Untermoduln hat, so setzt man Rad(M) := M. Zeige: Ist M
endlich erzeugt und M ≠ {0}, so gilt Rad(M) ≠ M.
Hinweis: Lemma von Zorn.
3.4 Anwendung auf lineare Abbildungen
Sei K ein Körper und V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Jedes ϕ ∈
End K (V ) induziert nach Beispiel 3.1.2(iii) eine K[X]-Modulstruktur auf V :
(∑
aj X j) v := ∑ a j ϕ j (v).
Umgekehrt erhält man aus einer K[X]-Modulstruktur auf V einen Endomorphismus
ϕ ∈ End K (V ) via
ϕ(v) = Xv.
Auf diese Weise findet man eine Bijektion zwischen End K (V ) und der Menge der
K[X]-Modulstrukturen auf V . Man kann also davon ausgehen, dass die Strukturtheorie
von K[X]-Moduln auch Ergebnisse über Endomorphismen liefert.
Sei ϕ ∈ End K (V ) und K[ϕ] der von Kϕ erzeugte Unterring von End K (V ). Der
Ringhomomorphismus
ev ϕ : K[X] → K[ϕ],
∑
aj X j ↦→ ∑ a i ϕ j
heißt die Auswertung in ϕ. Die Auswertung hat einen nicht-trivialen Kern, weil
K[ϕ] ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum ist, aber K[X] nicht (und die Auswertung
ist offensichtlich K-linear). Der Kern der Auswertung ist von der Form q ϕ K[X],
wobei q ϕ den Leitkoeffizienten 1 hat und dadurch eindeutig bestimmt wird. Dabei
benützen wir, dass K[X] euklidisch ist (vgl. Beispiel 2.3.4) und daher ein Hauptidealring
(vgl. Proposition 2.3.5) sowie den Umstand, dass die von Null verschiedenen
konstanten Polynome gerade die Einheiten in K[X] sind. Das Polynom q ϕ ∈ K[X]
heißt das Minimalpolynom von ϕ.
Proposition 3.4.1. Sei ϕ ∈ End K (V ) und
V ∼ =
l⊕
K[X]/q j K[X]
j=1
die Summenzerlegung aus Satz 3.3.3, angewandt auf die von ϕ induzierte K[X]-
Modulstruktur auf V . Wenn die q j normiert sind (d.h. Leitkoeffizient 1), dann ist
q l = q ϕ das Minimalpolynom von ϕ.
Beweis. Die Modulstruktur auf V ist gerade so gemacht, dass ein f ∈ K[X] genau
dann im Kern von ev ϕ liegt, wenn fV = {0}. Dies ist aber genau dann der Fall,
wenn f von allen q j geteilt wird. Wegen q 1 | q 2 | . . . | q l folgt ker ev ϕ = q l K[X],
also die Behauptung.
⊓⊔