Skript - Universität Paderborn

94 5 Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale
(ii) Das Polynom f = X 3 −1 ∈ Q[x] ist nach Beispiel 5.1.2 separabel, weil char(Q) =
0. Also ist f = (X−1)(X 2 +X+1) ist die Faktorisierung in irreduzible Polynome
und der Zerfällungskörper von f ist L = Q(w) mit w = e 2 3 πi . Es gilt [L : Q] =
Gr(x 2 + x + 1) = 2, was zu Gal Q (f) ∼ = {±1} zu führt. Wegen σ(w) = w 2 = w
gilt aber σ(α) = α für alle α ∈ L. Also ist σ das von id Q verschiedene Element
von Gal Q (f).
(iii) Das Polynom f = X 3 − 2 ∈ Q[X] ist nach dem Eisensteinkriterium 4.4.5 irreduzibel
mit den Nullstellen 3√ 2, w 3√ 2 und w √ 2 3
2 mit w = e 2 3 πi . Dies liefert
L = Q ( w, 3√ 2 ) , weil w ∉ Q ( √ 3
2 ) ⊆ R. Die Irreduzibilität von X 3 − 2 zeigt, dass
X 3 − 2 das Minimalpolynom von 3√ 2 ist, also haben wir [Q ( √ 3
2 ) : Q] = 3. Mit
Proposition 5.2.9 erhalten wir
| Gal Q (f)| = [L : Q] = [ L : Q( 3√ ][
2)
√ ]
3
Q( 2) : Q > 3
} {{ } } {{ }
>1
=3
und da Gal Q (f) isomorph zu einer Untergruppe von S 3 ist (vgl. Satz 5.2.8), gilt
sogar Gal Q (f) ∼ = S 3 .
Proposition 5.2.11. Sei p ∈ N prim und K sei eine Körper der Charakteristik
char(K) ≠ p, der alle p-ten Einheitswurzeln enthält. Wenn L/K rein ist und [L :
K] = p, dann gilt Gal(L/K) ∼ = Z/pZ.
Beweis. Sei L = K(α) mit α p ∈ K, aber α /∈ K (vgl. Proposition 5.2.3). Dann zeigt
der Beweis von Lemma 5.2.2, dass X p − α p irreduzibel über K ist. Die Nullstellen
dieses Polynoms sind {ζα | ζ p-te Einheitswurzel} (davon gibt es wegen char(K) ≠
p genau p Stück). Also ist X p − α p separabel. Jetzt zeigt Proposition 5.2.9 die
Identität | Gal(L/K)| = p somit hat jedes von der Eins verschiedene Element in
Gal(L/K) die Ordnung p, ist also ein Erzeuger (vgl. Bemerkung 1.4.20). Dies liefert
Gal(L/K) ∼ = Z/pZ.
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Proposition 5.2.12. Sei K ein Körper, f ∈ K[X] und L der Zerfällungskörper von
f über K.
(i) Wenn f irreduzibel ist, dann wirkt die Galoisgruppe Gal K (f) transitiv auf der
Menge M := {α ∈ L | f(α) = 0}.
(ii) Wenn f keine mehrfachen Nullstellen hat und Gal K (f) transitiv auf M wirkt,
dann ist f ist irreduzibel.
Beweis. (i) Wende Korollar 4.2.11 auf id K mit σ(α 1 ) = α 2 für α 1 , α 2 ∈ M an.
(ii) Wenn f = gh mit deg(g), deg(h) > 0 und g(α 1 ) = 0 = h(α 2 ) gilt, dann gibt es
ein σ ∈ Gal K (f) mit σ(α 1 ) = α 2 . Nach Lemma 5.2.6 haben wir dann g(α 2 ) = 0
und α 2 ist doppelte Nullstelle.
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Lemma 5.2.13. Seien K ⊆ B ⊆ L Körper, und sei B der Zerfällungskörper von
f ∈ K[X] über K. Wenn σ ∈ Gal(L/K), dann gilt σ| B ∈ Gal K (f).
Beweis. Zu zeigen ist, dass σ(B) = B. Sei
M := {α ∈ B | f(α) = 0} = {α 1 , . . . , α n } = {α ∈ L | f(α) = 0}.
Dann gilt B = K(α 1 , . . . , α n ) und Lemma 5.2.6 liefert σ(M) = M, was die Behauptung
beweist.
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