Skript - Universität Paderborn

4 1 Gruppen
Beispiel 1.1.7 (Graphenautomorphismen). Ein gerichteter Graph Γ ist gegeben
durch eine Menge V , die man als Ecken interpretiert, eine Menge E, die man
als Kanten interpretiert, sowie eine Abbildung η : E → V ×V . Dabei stellt man sich
vor, dass η(e) = (a, b), wenn e eine Kante mit Anfangspunkt a und Endpunkt b ist.
Ein Automorphismus von Γ = (V, E, η) besteht aus einer Bijektion ϕ E : E → E
und einer Bijektion ϕ V : V → V mit
η(e) = (a, b) ⇔ η ( ϕ E (e) ) = ( ϕ V (a), ϕ V (b) ) .
Dann ist die Menge Aut(Γ ) aller Automorphismen von Γ bzgl. der Verknüpfung
von Abbildungen eine Gruppe mit der Identität als Einselement.
⊓⊔
Beispiel 1.1.8 (Matrizengruppen). Sei K ein Körper. Die folgenden Teilmengen
von Mat(n×n, K) sind Gruppen bzgl. der Matrizenmultiplikation. Das Einselement
ist jeweils die Einsmatrix und das Inverse einer Matrix ist das gewöhnliche Matrizeninverse:
(i) Die allgemeine lineare Gruppe, GL(n, K) = {A ∈ Mat(n × n, K) | det(A) ≠
0}.
(ii) Die spezielle lineare Gruppe, SL(n, K) = {A ∈ Mat(n × n, K) | det(A) = 1}.
(iii) Die Menge T der oberen Dreiecksmatrizen in GL(n, K).
(iv) Die unipotente Gruppe U der oberen Dreiecksmatrizen in GL(n, K) mit 1 als
einzigem Eigenwert.
(v) Die orthogonale Gruppe O(n, K) = {A ∈ Mat(n × n, K) | A ⊤ = A −1 }.
(vi) Die symplektische ( ) Gruppe Sp(2n, K) = {A ∈ Mat(2n × 2n, K) | A ⊤ JA = J}
0 1n
mit J =
.
−1 n 0
(v) Die unitäre Gruppe U(n, K) = {A ∈ Mat(n×n, K) | A ∗ = A −1 }, wobei z → z
ein involutiver Automorphismus von K ist, der komponentenweise angewandt
eine involutive Abbildung A → A induziert, für die man setzt: A ∗ := A ⊤ .
(vi) Die spezielle orthogonale Gruppe SO(n, K) = SL(n, K) ∩ O(n, K).
(vii) Die spezielle unitäre Gruppe SU(n, K) = SL(n, K) ∩ U(n, K).
⊓⊔
Die folgende Proposition liefert eine Möglichkeit, aus einer Familie von Gruppen
neue, größere Gruppen zusammenzubauen:
Proposition 1.1.9. Sei (G λ , ◦ λ ) λ∈Λ eine Familie von Gruppen. Dann ist
∏
G λ := {f : Λ → ⋃ . G λ | f(λ) ∈ G λ }
λ∈Λ
eine Gruppe bzgl. der Verknüpfung
λ∈Λ
(f ◦ f ′ )(λ) := f(λ) ◦ λ f ′ (λ)
für 1 f, f ′ ∈ ∏ λ∈Λ G λ. Das Einselement ist gegeben durch e(λ) = e λ ∈ G λ , wobei e λ
das Einselement in G λ ist. Analog ist das Inverse von f ∈ ∏ λ∈Λ G λ gegeben durch
f −1 (λ) = f(λ) −1 ∈ G λ .
Beweis. Übung.
⊓⊔
1 Beachte, dass für überabzählbares Λ das Auswahlaxiom benötigt wird, um ∏ λ∈Λ G λ ≠ ∅
sicherzustellen.