Skript - Universität Paderborn

2.2 Integritätsbereiche 39
Proposition 2.2.10. Sei R ein kommutativer Ring und I ⊆ R ein Ideal.
(i) R/I ist ein Integritätsbereich genau dann, wenn I prim ist.
(ii) R/I ist ein Körper genau dann, wenn I maximal ist.
(iii) Wenn I maximal ist, dann ist I prim.
Beweis. Idee: Dies sind direkte Konsequenzen der Definitionen.
(i) Sei R/I ein Integritätsbereich. Wenn xy ∈ I für x, y ∈ R, dann gilt
(x + I)(y + I) = xy + I = 0 + I,
also x + I = 0 + I oder y + I = 0 + I, d.h. x ∈ I oder y ∈ I. Also ist I prim.
Sei umgekehrt I prim. Wenn jetzt (x + I)(y + I) = 0 + I, dann heißt das xy ∈ I,
also x ∈ I oder y ∈ I. Damit folgt x + I = 0 + I oder y + I = 0 + I, und R/I
ist nullteilerfrei.
(ii) Sei R/I ein Körper. Wenn r ∈ R \ I, dann gilt r + I ∈ (R/I) \ {0 + I}, also
existiert ein s + I ∈ R/I mit
(s + I)(r + I) = 1 + I.
Dann folgt aber sofort 1 ∈ sr + I, d.h. I ist maximal.
Sei umgekehrt I maximal und r + I ∈ (R/I) \ {0 + I}. Dann ist r ∈ R \ I und
es gibt ein s ∈ R mit sr ∈ 1 + I. Aber das bedeutet (s + I)(r + I) = 1 + I, so
dass r + I ein multiplikatives Inverses in R/I hat. Also ist R/I ein Körper.
(iii) Dies folgt sofort aus (i) und (ii), weil jeder Körper ein Integritätsbereich ist.
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Beispiel 2.2.11. Das Hauptideal (X) in Z[X] ist prim, aber nicht maximal, weil
Z[X]/(X) ∼ = Z ein Integritätsbereich ist, aber kein Körper. Zum Beispiel ist (X) in
dem Ideal
{ ∑
n }
I := a k X k | n ∈ N 0 , a k ∈ Z, a 0 ∈ 2Z
enthalten.
k=0
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Beispiel 2.2.12. Eine Teilmenge I ⊆ Z ist ein Ideal genau dann, wenn I − I ⊆ I
gilt, weil dann automatisch alle Vielfachen von Elementen in I selbst wieder in I
sind. Proposition 2.1.12 sagt dann gerade, dass jedes Ideal I in Z von der Form dZ
mit d ∈ N 0 ist.
Das Ideal dZ in Z ist prim genau dann, wenn es maximal ist. Die eine Richtung
folgt dabei aus Proposition 2.2.10. Um auch die Umkehrung einzusehen, nehmen
wir an, dass dZ ein Primideal ist. Dies ist nach Beispiel 2.2.9 gleichbedeutend damit,
dass d eine Primzahl ist. Sei jetzt a ∈ Z \ dZ. Dann teilt d die Zahl a nicht und
weil d prim ist, sind a und d sogar teilerfremd. Nach Beispiel 2.2.8(ii) ist also jedes
k ∈ Z von der Form k = na + md mit n, m ∈ Z. Wenn wir k = 1 wählen, folgt
insbesondere 1 ∈ na + dZ, also die Maximalität von dZ.
Insbesondere erkennt man, dass Z/dZ genau dann ein Körper ist, wenn d prim
ist.
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