Skript - Universität Paderborn

1.1 Die Gruppenaxiome 5
Die Gruppe ∏ λ∈Λ G λ heißt das direkte Produkt der Gruppen G λ . Wenn Λ =
{1, . . . , n}, so schreibt man auch G 1 ×. . .×G n statt ∏ λ∈Λ G λ und (g 1 , . . . , g n ) statt
f : {1, . . . , n} → ⋃ . n j=1 G j mit f(j) = g j .
Übung 1.1.1. Man zeige: Es gibt eine Menge M ≠ ∅, und eine assoziative Verknüpfung
◦ : M × M → M so, dass gilt
(i) ∃e ∈ M ∀x ∈ M : ex = x und (M, ◦) ist kein Monoid.
(ii) ∃e ∈ M ∀x ∈ M : ex = x und ∀x ∈ M ∃y ∈ M : xy = e, aber (M, ◦) ist keine Gruppe.
Übung 1.1.2. Es sei (G, ◦) ein endliches Monoid (d.h. G ist eine endliche Menge) und es
gelte
Für a, x, y ∈ G mit ax = ay oder xa = ya folgt stets x = y.
Dann ist (G, ◦) eine Gruppe. Zusätzlich untersuche man, ob auf die Bedingung endlich“ ”
verzichtet werden kann.
Übung 1.1.3. Es sei (G, ·) eine Gruppe und es seien g ∈ G, r, s ∈ Z. Wir definieren g 0 = e,
g 1 = g, g n = g · g n−1 für positives n und g n = (g −n ) −1 für negatives n. Man beweise:
(i) g r g s = g r+s = g s g r .
(ii) (g r ) s = g rs .
(iii) g −r = (g −1 ) r = (g r ) −1 .
Übung 1.1.4. Wieder sei (G, ·) eine Gruppe. Es sei g ∈ G ein Element der Ordnung n
(∈ N), d.h. n = min{k ∈ N | g k = e}. Es gilt g r = g s genau dann, wenn n | (r − s).
Übung 1.1.5. Für eine nicht-leere Menge M sei Bij(M) := {f : M → M | f bijektiv}.
1. Zeige, dass Bij(M) zusammen mit der Verknüpfung von Abbildungen eine Gruppe
bildet.
2. Die Gruppe S n := Bij({1, 2, . . . , n}) heißt symmetrische Gruppe in n Symbolen. Wie
lassen die Elemente von S 3 möglichst effektiv beschreiben Bestimme die Gruppentafel
von S 3 .
Übung 1.1.6. Sei G = {a, b, c, d, e, f} eine Gruppe mit Verknüpfung ⋆ : G × G → G.
Vervollständige die Gruppentafel:
⋆ a b c d e f
a c e f
b c e
c a d
d f b
e d f c
f c a b
Welches ist das neutrale Element und welche Elemente sind invers zueinander Ist G
abelsch
Übung 1.1.7. Es sei G eine endliche abelsche Gruppe. Dann gilt ∏ g∈G g2 = 1.
Übung 1.1.8. Bestimme alle möglichen Gruppentafeln für eine Gruppe mit 4 Elementen.
Übung 1.1.9 (Ordnungen). Sei (G, ·) eine Gruppe. Es sei g ∈ G ein Element der Ordnung
n ∈ N ∪ {∞}, d.h. n := min{k ∈ N | g k = e}, falls das Minimum existiert, und n := ∞
sonst.
1. Zeige im Fall n < ∞: Es gilt g r = g s genau dann, wenn n | (r − s).
2. Sei G = GL(2, R) = {A ∈ Mat(2 × 2, R) | A invertierbar} mit Matrizenmultiplikation
als Verknüpfung. Bestimme die Ordnungen der Elemente a, b und dem Produkt ab für
a :=
( 0 −1
1 0
)
, b :=
( 0 1
−1 −1
)
.