Skript - Universität Paderborn

22 1 Gruppen
(vii) Sei ϕ: G → H ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Wenn U ≤ G mit
ker ϕ ⊆ U, dann ist U normal in G genau dann, wenn ϕ(U) normal in H ist
(Übung).
(viii) Sei G eine Gruppe und Inn(G) die Menge der inneren Automorphismen von G.
Dann ist Inn(G) ein Normalteiler in Aut(G) (Übung).
⊓⊔
Definition 1.4.11. Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie keine nicht-trivialen Normalteiler
hat.
Übung 1.4.2. Zeige: Für n ≥ 5 ist A n einfach. Ein möglicher Weg, diese Aufgabe zu lösen,
ist folgender:
(i) A n wird von den Zyklen der Länge 3 erzeugt. (Dies gilt schon für n ≥ 3.)
(ii) Sei {id} ̸= N ⊳ A n und N enthalte einen Dreierzykel. Dann enthält N alle Dreierzykel.
Alternativ kann man auch zeigen, dass Dreierzykel paarweise konjugiert sind.
Hinweis: Für einen gegebenen 3-Zykel (k 1 , k 2 , k 3 ) konstruiere man ein σ ∈ A n , so dass
σ ◦ (1, 2, 3) ◦ σ −1 = (k 1, k 2, k 3).
(iii) Jeder Normalteiler N ≠ {id} von A n enthält einen Dreierzykel.
Anleitung: Betrachte die Zykelzerlegung σ = σ 1 ◦ · · · ◦ σ k eines Elements σ ∈ N \ {id}
und unterscheide die Fälle a) einer der Zyklen σ i hat Länge ≥ 4, b) alle Zyklen haben
Länge ≤ 3. Unterscheide in b) die Fälle b1) einer der Zykel hat Länge 3, b2) alle
Zyklen haben Länge ≤ 2. In jedem dieser Fälle konstruiere man einen Dreierzyklus τ
und betrachte στσ −1 τ −1 .
Übung 1.4.3. Seien τ, ζ ∈ S 5 eine Transposition und ein 5-Zykel. Zeige, dass S n von τ
und ζ erzeugt wird.
Proposition 1.4.12. Sei G eine Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe vom Index
2. Dann ist U normal in G.
Beweis. Idee:
in G.
In diesem Fall gibt es nur zwei Nebenklassen, U und sein Komplement
Es gibt zwei Linksnebenklassen von U: Die Untergruppe U selbst und ein g o U =
G \ U. Ebenso gibt es nur zwei Rechtsnebenklassen: U und G \ U. Also gilt g o U =
Ug o . Sei jetzt g ∈ G. Wenn g ∈ U, dann gilt gUg −1 = gU = U. Wenn g ∈ g o U,
dann gilt
also folgt die Behauptung.
gUg −1 = g o Ug −1
o
= Ug o g −1
o = U,
⊓⊔
Satz 1.4.13. Sei G eine Gruppe mit Einselement e und U ein Normalteiler von G.
(i) (xU)(yU) = xyU für alle x, y ∈ G.
(ii) G/U ist eine Gruppe bzgl. der Multiplikation xU ◦ yU = xyU. Das Einselement
ist dabei durch e G/U = eU gegeben.
(iii) Die Abbildung π : G → G/U, x ↦→ xU ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus
mit Kern U.
Beweis. Idee: Dies folgt direkt aus den Definitionen.