Skript - Universität Paderborn

3.3 Moduln über euklidischen Ringen 67
Lemma 3.3.4 (Chinesischer Restsatz).
in R mit I + J = R. Dann gilt
Sei R ein Ring sowie I und J Ideale
(i) R/(I ∩ J) ∼ = R/I ⊕ R/J.
(ii) Sei R kommutativ. Dann gilt
{ ∑
∣ }
∣∣∣
I ∩ J = IJ := i k j k i k ∈ I, j k ∈ J .
endl.
Beweis. Idee: Betrachte den Homomorphismus ϕ: R → R/I ⊕ R/J, r ↦→ (r + I, r + J).
Der Homomorphismus
ϕ: R → R/I ⊕ R/J, r ↦→ (r + I, r + J)
hat den Kern ker ϕ = I ∩ J. Für (i) genügt es also zu zeigen, dass ϕ surjektiv ist.
Sei (x 1 + I, x 2 + J) ∈ R/I ⊕ R/J. Da aber 1 = y 1 + y 2 für geeignete y 1 ∈ I und
y 2 ∈ J, können wir mit z = x 1 y 2 + x 2 y 1 schreiben
z + I = x 1 y 2 + I = x 1 (y 2 + y 1 ) + I = x 1 + I,
z + J = x 2 y 1 + J = x 2 (y 1 + y 2 ) + J = x 2 + J,
also ϕ(z) = (x 1 + I, x 2 + J).
Sei jetzt R kommutativ und z ∈ I ∩ J. Wir schreiben wieder 1 = y 1 + y 2 für
geeignete y 1 ∈ I und y 2 ∈ J. Dann gilt
z = zy 1 + zy 2 = y 1 z + zy 2 ∈ IJ.
Umgekehrt folgt IJ ⊆ I ∩ J sofort aus der Definition.
⊓⊔
Übung 3.3.1. Sei R ein kommutativer Ring sowie I 1 , . . . , I n Ideale in R mit I i + I j = R
für i ≠ j. Sei
{ ∣ }
n∏ ∑ ∣∣∣
I i := r 1 . . . r n r i ∈ I i .
endl.
Dann gilt
i=1
(i) (∏ n−1
i=1 I i)
+ In = R.
(ii) R/ (⋂ n
i=1 I ) (
i ∼=
(⋂ R/ n−1
i=1 I i))
⊕ R/In .
(iii) R/ (⋂ n
i=1 I )
i ∼=
⊕ n−1
i=1 R/I i.
(iv) ∏ n
i=1 I i = ⋂ n
i=1 I i.
Übung 3.3.2. Sei n 1 , . . . , n k ∈ Z paarweise teilerfremd und a 1 , . . . , a k ∈ Z. Zeige, dass es
für das folgende System von Kongruenzgleichungen eine Lösung x ∈ Z gibt:
x ≡ a 1 mod n 1
.
x ≡ a k mod n k .
Mit dem Chinesischen Restsatz 3.3.4 kann man die Summenzerlegung aus Satz
3.3.3 noch weiter aufspalten: