Skript - Universität Paderborn

3.2 Basen und freie Moduln 57
Beispiel 3.2.4. (i) Wenn R = K ein Körper ist, dann reduzieren sich die Begriffe
erzeugen“ und R–unabhängig“ auf die Begriffe aufspannen“ und linear
” ” ” ”
unabhängig“ aus der Theorie der Vektorräume. Jeder K-Vektorraum, d.h. K-
Modul, ist frei (das folgt aus dem Lemma von Zorn).
(ii) R n = {(r 1 , . . . , r n ) | r j ∈ R} mit der offensichtlichen R-Modulstruktur ist frei
mit Basis
{(1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, 1)}
{ ( ) ∣∣∣
a 0
}
(iii) R = Mat(2 × 2, R), M =
a, b ∈ R . Gäbe es eine R-Basis E für M,
b 0
so wäre 2 = dim R M ≥ |E| · dim R R = 4|E|. Also ist M nicht frei.
(iv) Ein von Null verschiedener freier R-Modul hat mindestens so viele Elemente
wie R. Also ist z.B. der Z-Modul Z/nZ nicht frei, d.h. er hat keine Basis.
Proposition 3.2.5. In endlich erzeugten freien Moduln über kommutativen Ringen
gilt die Invarianz der Basislänge. Genauer gesagt, je zwei endliche Basen haben
gleich viele Elemente. Insbesondere ist n durch M = R n festgelegt.
Beweis. Idee: Faktorisiere ein maximales Ideal von R und führe so die Proposition auf
den entsprechenden Satz für Vektorräume zurück.
Wenn {m 1 , . . . , m k } eine Basis für M ist, dann ist
η : R k → M, (r 1 , . . . , r k ) ↦→
k∑
r j m j
ein Modulisomorphismus. Nach dem Lemma von Zorn 1 gibt es ein maximales Ideal
I ✂ R (die Vereinigung einer Kette von echten Idealen ist ein echtes Ideal). Die
Menge IM := { ∑ endl. i αm α | i α ∈ I, m α ∈ M} ist ein R-Untermodul von M und
die induzierte Abbildung
j=1
¯η : M/IM → R k /IR k , m + IM ↦→ η(m) + IR k
ist ein bijektiver R-Modulhomomorphismus. Da Multiplikation mit Elementen aus I
auf beiden Seiten immer Null liefert, kann man ¯η auch als R/I-Modulhomomorphismus
interpretieren. Die Maximalität von I zeigt nach Proposition 2.2.10, dass R/I ein
Körper ist, d.h. ¯η ist ein Vektorraumisomorphismus. Aber auch
ψ k : R k /IR n → (R/I) k , (r 1 , . . . , r k ) + IR k ↦→ (r 1 + I, . . . , r n + I)
ist ein R/I-Modulisomorphismus ist, d.h. ein Vektorraumisomorphismus. Damit
erhält man dim R/I (M/IM) = k und k ist durch M und I festgelegt. Also stimmen
die Längen zweier endlicher Basen überein.
⊓⊔
Man nennt n den Rang des Moduls. Man kann Beispiele für nichtkommutative
Ringe R finden, über denen alle freien Moduln R n mit n ≥ 1 isomorph sind.
Satz 3.2.6. Sei M ein Links-R-Modul und E ⊂ M. Dann sind folgende Aussagen
äquivalent:
1 Lemma (Zorn). Sei (M, ≤) eine partiell geordnete Menge, für die jede nichtleere total
geordnete Teilmenge (Kette) eine obere Schranke hat. Dann gibt es ein maximales
Element in M.