Skript - Universität Paderborn

20 1 Gruppen
(iii) ϕ ist genau dann surjektiv, wenn im ϕ = H.
Beweis. Idee: Dies folgt mit Proposition 1.4.4 sofort aus den Definitionen und dem
Untergruppenkriterium 1.3.2.
(i) Nach Proposition 1.4.4 gilt
ϕ(g −1 g ′ ) = ϕ(g) −1 ϕ(g ′ ) = e H e H = e H
für g, g ′ ∈ ker ϕ, d.h., die erste Behauptung folgt mit dem Untergruppenkriterium
1.3.2. Die zweite Behauptung folgt in ähnlicher Weise.
(ii) Wenn ϕ injektiv ist und g ∈ ker ϕ, dann gilt ϕ(g) = e H = ϕ(e G ), also g = e G .
Umgekehrt, wenn ker ϕ = {e G } und ϕ(g) = ϕ(g ′ ), dann gilt nach Proposition
1.4.4
ϕ(g −1 g ′ ) = ϕ(g) −1 ϕ(g ′ ) = e H ,
also g −1 g ′ = e G , d.h. g ′ = g.
(iii) Dies ist trivial.
⊓⊔
Bemerkung 1.4.7. Seien G und H Gruppen und ϕ ∈ Hom(G, H) sowie U ≤ G
und V ≤ H. Dann gilt (Übung)
(i) ϕ(U) ≤ H.
(ii) ϕ −1 (V ) ≤ G.
⊓⊔
Proposition 1.4.8. Sei ϕ: G → H ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
(i) Die Abbildung
{U ≤ G | ker ϕ ⊆ U} → {V ≤ H}, U ↦→ ϕ(U)
ist eine Bijektion, deren Inverse durch V ↦→ ϕ −1 (V ) gegeben ist.
(ii) Für alle U ≤ G mit ker ϕ ⊆ U gilt [G : U] = [H : ϕ(U)].
Beweis. Idee: Teil (i) ist eine direkte Verifikation aus den Definitionen. Für (ii) betrachtet
man ein Repräsentantensystem R = {g i | i ∈ I} für G/U (d.h. R enthält von jeder
Linksnebenklasse genau ein Element).
(i) Zu zeigen ist: ϕ −1( ϕ(U) ) = U und ϕ ( ϕ −1 (V ) ) = V . Dazu sei zunächst V ≤ H
und v ∈ V . Wegen der Surjektivität von ϕ gibt es ein g ∈ G mit ϕ(g) = v. Dann
gilt g ∈ ϕ −1 (V ) und v = ϕ(g) ∈ ϕ ( ϕ −1 (V ) ) . Damit haben wir V ⊆ ϕ ( ϕ −1 (V ) ) .
Umgekehrt:
g ∈ ϕ −1 (V ) =⇒ ϕ(g) ∈ V =⇒ ϕ ( ϕ −1 (V ) ) ⊆ V.
Jetzt sei ker ϕ ⊆ U ≤ G. Wenn ϕ(u) = ϕ(g) für u ∈ U, d.h. g ∈ ϕ −1( ϕ(U) ) ,
dann gilt gu −1 ∈ ker ϕ ⊆ U, also g ∈ U und daher ϕ −1( ϕ(U) ) ⊆ U. Umgekehrt
folgt aus u ∈ U sofort u ∈ ϕ −1( ϕ(u) ) ⊆ ϕ −1( ϕ(U) ) .