Skript - Universität Paderborn

98 5 Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale
Nach dem Hauptsatz 3.3.3 über endlich erzeugte Moduln (hier angewendet
auf Z-Moduln) ist G isomorph zu einer direkten Summe von zyklischen Gruppen
⊕ j Z/n j Z. Da es zu jedem Teiler d von n j ein Element der Ordnung d in Z/n j Z
gibt, müssen nach obiger Behauptung die n j teilerfremd sein. Aber dann sagt der
Chinesische Restsatz 3.3.4, dass G ∼ = Z/( ∏ j n j)Z zyklisch ist.
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Korollar 5.3.2. Sei n ∈ N und K ein Körper. Dann gilt
(i) {ζ ∈ K | ζ n = 1} ist eine zyklische Gruppe bzgl. der Multiplikation im Körper.
(ii) Wenn K endlich ist, dann ist K × := K \ {0} bzgl. der Multiplikation eine zyklische
Gruppe.
Definition 5.3.3. Ist K ein endlicher Körper, so heißt jeder Erzeuger der zyklischen
Gruppe K × ein primitives Element von K.
Lemma 5.3.4. Sei α ∈ F p n primitiv. Dann gibt es ein irreduzibles Polynom f ∈
F p [X] mit deg(f) = n und f(α) = 0.
Beweis. Sei h ∈ F p [X] irreduzibel vom Grad d. Dann gilt (vgl. Satz 4.2.9) [F p (α) :
F p ] = d und h(α) = 0. Es folgt |F p (α)| = p d . Andererseits ist α primitiv in F p n, also
gilt auch F p (α) = F p n. Damit folgt die Behauptung.
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Satz 5.3.5. Es gilt Gal ( F p n/F p
) ∼= Z/nZ und der Erzeuger dieser zyklischen Gruppe
ist der Frobenius-Automorphismus σ 0 .
Beweis. Sei G := Gal(F p n/F p ) und α ∈ F p n primitiv mit Minimalpolynom f ∈
F p [X]. Dann gilt deg(f) = n nach Lemma 5.3.4 und σ ∈ G ist durch σ(α) vollständig
bestimmt. Da aber σ(α) Nullstelle von f sein muss, finden wir |G| ≤ n. Andererseits
ist der Frobenius-Automorphismus σ 0 ∈ G, weil β ∈ F p nach Korollar 4.3.9 genau
dann gilt, wenn β p = β. Wegen σ j 0 (α) = αpj haben wir σ j 0 = id genau dann, wenn
j ∈ Z/nZ und das zeigt G = {σ j 0 | j = 0, . . . , n − 1} ∼ = Z/nZ.
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Lemma 5.3.6. Sei n ∈ N und K Körper mit char(K) = 0 oder char(K) = p,
wobei p die Zahl n nicht teilt. Dann hat f = X n − 1 n verschiedene Nullstellen im
Zerfällungskörper L von f.
Beweis. Da die formale Ableitung f ′ = n X n−1 teilerfremd zu f ist, folgt dies aus
Proposition 4.3.7.
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Sei n ∈ N und K ein Körper sowie L n der Zerfällungskörper von X n − 1 über K.
Ein Erzeuger ζ der Gruppe {ξ ∈ L n | ξ n = 1} heißt primitive n-te Einheitswurzel
über K, wenn char K = 0 oder char(K) = p mit p ̸ | n.
Satz 5.3.7. Sei K ein Körper und α eine primitive n-te Einheitswurzel über K.
Dann ist Gal(K(α)/K) abelsch.