Skript - Universität Paderborn

14 1 Gruppen
Die Abbildung
G/U → U\G,
gU ↦→ Ug −1
ist eine Bijektion. Daher spielt es keine Rolle, ob man in der Definition des Index
Links- oder Rechtsnebenklassen verwendet.
Der (Links)-Nebenklassenraum G/U ist homogen bzgl. der Wirkung
(g, hU) ↦→ ghU
von G auf G/U. Analog ist der (Rechts)-Nebenklassenraum U\G ist homogen bzgl.
der Wirkung
(g, Uh) ↦→ Uhg −1
von G auf U\G.
Nebenklassenräume tauchen als Bahnen von Gruppenwirkungen in natürlicher
Weise auf:
Proposition 1.3.11 (Bahnenabbildung). Sei G×X → X eine Gruppenwirkung
und x ∈ X. Dann ist die Bahnenabbildung
ι: G/G x → G · x, gG x ↦→ g · x
eine äquivariante Bijektion. Hier heißt äquivariant, dass
gilt.
g · ι(hG x ) = ι(g · hG x )
Beweis. Idee: Man schließt alle Eigenschaften sofort aus der Äquivalenz g · x = h · x ⇔
gG x = hG x .
Wenn gG x = hG x , dann gilt g −1 h ∈ G x , also g −1 h·x = x und daher h·x = g ·x.
Dies zeigt, dass die Abbildung wohldefiniert ist. Die Surjektivität folgt sofort aus
der Definition der Bahn. Wenn jetzt g·x = h·x, dann folgt aus obigen Überlegungen
umgekehrt auch gG x = hG x , und somit die Injektivität. Die Äquivarianz folgt sofort
aus den Definitionen.
⊓⊔
Definition 1.3.12. Sei G eine Gruppe sowie X und Y zwei G-Räume, d.h. zwei
Mengen, auf denen G wirkt. Dann heißt eine Abbildung ϕ: X → Y G-äquivariant
(oder einfach äquivariant), wenn
für alle g ∈ G und alle x ∈ X gilt.
ϕ(g · x) = g · ϕ(x)
Bemerkung 1.3.13. Sei X die Potenzmenge von G, dann wirkt G auf X via
g · E = {gx | x ∈ E}
für E ∈ X und offensichtlich ist die G-Bahn G · U von U in X gerade der Raum
G/U der Linksnebenklassen von U. Der Stabilisator von U ∈ X ist dann gerade
U. ⊓⊔