Skript - Universität Paderborn

24 1 Gruppen
(ii) gN = Ng für alle g ∈ G impliziert insbesondere NU = UN. Also gilt
(UN)(UN) ⊆ UN und (UN) −1 = N −1 U −1 = NU = UN. Also folgt die
Behauptung aus dem Untergruppenkriterium 1.3.2.
(iii) ϕ: U → UN/N, u ↦→ uN ist ein surjektiver Homomorphismus. Da aber u ∈
ker ϕ genau dann, wenn uN = eN, d.h. wenn u ∈ U ∩ N, folgt mit dem
1. Isomorphiesatz 1.4.14 die Behauptung.
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Seien G eine Gruppe und A ⊆ B zwei Nor-
Satz 1.4.17 (3. Isomorphiesatz).
malteiler in G.
(i) B/A ist normal in G/A.
(ii) (G/A)/(B/A) ∼ = G/B.
Beweis. Idee: Bestimme den Kern von G/A → G/B, gA ↦→ gB.
Betrachte
ϕ: G/A → G/B, gA ↦→ gB.
Dies ist eine wohldefinierte Abbildung, weil aus gA = g ′ A folgt g −1 g ′ A ⊆ B, also
gB = g ′ B. Man sieht leicht, dass ϕ ein surjektiver Homomorphismus ist. Um den
Kern von ϕ zu bestimmen, beachte man, dass ϕ(gA) = e G/B = e G B genau dann,
wenn gB = e G B, d.h., wenn g ∈ B. Also gilt
ker ϕ = {gA | g ∈ B} = B/A.
Also ist B/A normal in G/A und die Behauptung folgt mit dem 1. Isomorphiesatz
1.4.14. ⊓⊔
Satz 1.4.18. Sei G eine zyklische Gruppe (d.h. erzeugt von einem einzigen Element).
(i) Wenn |G| = ∞, dann ist G isomorph zu Z.
(ii) Wenn |G| = n, dann ist G isomorph zu Z/nZ.
Beweis. Idee: Sei 〈a〉 = G. Bestimme den Kern der Abbildung ϕ: Z → G, k ↦→ a k .
(i) Man sieht sofort, dass ϕ ein surjektiver Homomorphismus ist. Bleibt die Injektivität
nachzuweisen: Wenn a k = a m , dann folgt a m−k = e. Falls k ≠ m gilt,
gibt es dann höchstens |m − k| verschiedene Elemente der Form a l mit l ∈ Z
und dies steht im Widerspruch zur Voraussetzung.
(ii) Wenn |G| = n, dann gilt ker ϕ = nZ. Um das einzusehen, setze m := min{k ∈
N | a k = e}. Dann ist mZ ⊆ ker ϕ. Umgekehrt, wenn a s = e und m ist kein
Teiler von s, dann gibt es ein j = s − km ∈ {1, . . . , m − 1} mit a j = e, was
im Widerspruch zur Definition von m steht. Also haben wir ker ϕ = mZ. Nach
dem 1. Isomorphiesatz 1.4.14 gilt dann aber G ∼ = Z/mZ und wegen |Z/mZ| = m
auch m = n. Dies beweist die Behauptung und G = {a, a 2 , . . . , a n−1 , a n = e}.
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