Skript - Universität Paderborn

2.1 Ringe und Ideale 35
Beispiel 2.1.16. Sei n ∈ Z. Dann ist Z/nZ gerade der Ring der Restklassen
modulo n.
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Proposition 2.1.17. Sei ϕ: R → S ein Ringhomomorphismus sowie I ⊆ R und
J ⊆ S Ideale mit ϕ(I) ⊆ J. Dann definiert
ϕ(r + I) := ϕ(r) + J
einen Ringhomomorphismus ϕ: R/I → S/J.
Beweis. Idee: Die Wohldefiniertheit folgt sofort aus ϕ(I) ⊆ J, der Rest ist eine Routinerechnung.
Die Details seien als Übung dem Leser überlassen.
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Übung 2.1.4. Seien R und S Ringe und R ′ ein Unterring von R. Zeige
(i) Wenn ϕ: R → S ein Ringhomomorphismus ist, dann ist ϕ(R) isomorph zu R/ ker (ϕ).
(ii) Jedes homomorphe Bild von R ist isomorph zu R/I für ein Ideal I in R.
(iii) Für jedes Ideal I von R ist R ′ ∩ I ein Ideal von R ′ und R ′ + I ein Unterring von R.
(iv) Für jedes Ideal I von R gilt R ′ /(R ′ ∩ I) ∼ = (R ′ + I)/I.
(v) Für zwei Ideale I ⊆ J von R ist J/I := {j + I | j ∈ J} ein Ideal in R/I und es gilt
(R/I)/(J/I) ∼ = R/J.
Übung 2.1.5. Sei R ein Ring und J ⊂ R ein Linksideal, d.h. es gilt J + J ⊆ J und
Untergruppe mit RJ ⊆ J. Definiere den Idealisator von J in R durch
i R (J) := {a ∈ R | Ja ⊂ J}.
Zeige, dass i R (J) der größte Unterring von R ist, in dem J ein zweiseitiges Ideal ist.
Übung 2.1.6. Sei (R, +, ·) ein Ring, Cent(R) sein Zentrum und R × = Unit(R) die Menge
der Einheiten. Zeige:
1. Cent(R) ist ein kommutativer Unterring von R.
2. (R × , ·) ist eine Gruppe.
3. Wenn ax = 0 für a ∈ R × und x ∈ R, so ist x = 0.
4. (c) gilt im Allgemeinen nicht für Elemente a, x ∈ R.
5. Wenn 1 ≠ 0 und zu jedem r ∈ R \ {0} ein s ∈ R existiert mit rs = 1, dann ist R ein
Divisionsring.
Übung 2.1.7 (Polynomringe). Sei R ein nullteilerfreier Ring, d.h. für alle r, s ∈ R gilt:
Aus rs = 0 folgt r = 0 oder s = 0.
1. Zeige, dass die Einheiten im Polynomring R[X] gerade die Einheiten von R sind,
betrachtet als Polynome vom Grad 0.
2. Zeige, dass 1 − X eine Einheit im Ring R[[X]] der formalen Potenzreihen in einer
Variablen über R ist.
3. Zeige anhand eines Beispiels für R = Z/4Z, dass die Bedingung ”
nullteilerfrei“ für den
Beweis von a) wesentlich ist.
Übung 2.1.8 (Nilpotente Elemente). Sei R ein kommutativer Ring und R × seine Einheitengruppe.
Ein Element x ∈ R heißt nilpotent, wenn ein n ∈ N mit x n = 0 existiert. Es
sei Nil(R) die Menge der nilpotenten Elemente in R. Zeige:
1. (Nil(R), +) ist eine Untergruppe von (R, +),