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106 5 Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale Beweis. Sei w ∈ K primitive p-te Einheitswurzel. Dann gilt N(w) = w p = 1 und für G = Gal(L/K) zeigt der Hauptsatz 5.4.16 der Galoistheorie |G| = p, also G ∼ = F p . Mit einem Erzeuger σ schreiben wir G = 〈σ〉 und Lemma 5.4.19 liefert ein β ∈ L mit w = βσ(β) −1 . Dann gilt σ(β) = βw −1 und mit σ(β p ) = (βw −1 ) p = β p folgt β p ∈ L G = K. Wegen w ≠ 1 erhalten wir β /∈ K und für K(β) ∈ ZW(L/K) findet man [K(β) : K] | [L } {{ : K } ]. =p Aber dann gilt [K(β) : K] = p das zeigt K(β) = L, d.h. die Behauptung. ⊓⊔ Satz 5.4.21 (Galois). Sei K eine Körper der Charakteristik char K = 0 und L/K eine Galoiserweiterung mit auflösbarer Galoisgruppe G = Gal(L/K). Dann gibt es eine Radikalerweiterung ˜L/K mit L ⊆ ˜L. Insbesondere gilt mit Satz 5.3.10 für f ∈ K[X]: f(x) durch Radikale auflösbar ⇐⇒ Gal K (f) auflösbar. Beweis. Wir beweisen dies mit Induktion über [L : K]. Der Fall [L : K] = 1 ist klar. Sei also [L : K] > 1. Korollar 5.2.19 liefert einen Normalteiler H ✂G mit [G : H] = p prim. Sei jetzt w primitive p-te Einheitswurzel und ˜K := K(w). Für ˜L = L(w) ist dann ˜L/K eine Galoiserweiterung (betrachte das Polynom f(X p − 1), wenn L Zerfällungskörper von f ist). Da ˜L der Zerfällungskörper von X p − 1 über ˜K ist, ist ˜L/˜K eine Galoiserweiterung. Außerdem ist ˜K/K eine reine Erweiterung. Wenn jetzt ˜L ⊆ ˜F, ˜F/˜K eine Radikalerweiterung ist, dann ist ˜F/K eine Radikalerweiterung und es gilt L ⊆ ˜F. Aber dann gilt und ˜G ist auflösbar. ˜G := Gal(˜L/˜K) ϕ ↩→ Gal(L/K) 1. Fall Für | ˜G| < |G| gilt [˜L : ˜K] < [L : K] und Induktion liefert eine Radikalerweiterung ˜F/˜K mit ˜L ⊆ ˜F, was dann die Behauptung beweist. 2. Fall Für | ˜G| = |G| setze Ẽ := ˜L ˜H und ˜H = ϕ −1 (H). Dann gilt ˜G ϕ ∼ = G und Ẽ/˜K ist Galoiserweiterung mit [Ẽ : ˜K] = [ ˜G : ˜H] = [G : H] = p. Aber ˜K/K ist rein und ˜L/Ẽ ist eine Galoiserweiterung mit [˜L : Ẽ] = | ˜H| = |H| < [L : K]. Außerdem ist Gal(˜L/Ẽ) = ˜H auflösbar. Jetzt liefert wieder Induktion eine Radikalerweiterung ˜F/Ẽ mit ˜L ⊆ ˜F. Mit Korollar 5.4.20 erhält man jetzt K rein ⊆ ˜K rein ⊆ Ẽ rad. ⊆ ˜F. Also ist ˜F/K eine Radikalerweiterung, die ˜L enthält, und das zeigt die Behauptung. ⊓⊔
5.4 Der Hauptsatz der Galoistheorie 107 Beispiel 5.4.22 (Regelmäßige n-Ecke). Das regelmäßige n-Eck ist genau dann konstruierbar, wenn für die Primzahlzerlegung n = 2 k p k1 1 · · · pk m m gilt: k j = 1 und p j ist eine Fermatsche Primzahl. Nach Beispiel 4.5.7 bleibt nur noch zu zeigen, dass die p-te Einheitswurzel ζ p für eine Fermatsche Primzahl p = 2 2l + 1 konstruierbar ist. Da nach Beispiel 5.3.8 die Galoisgruppe G := Gal(Q(ζ p )/Q) zyklisch der Ordnung p − 1 = 2 2l ist, findet man eine Kette von zyklischen Untergruppen {e} = H 0 ≤ H 1 ≤ . . . ≤ H 2 l = G, für die |H j | = 2 j gilt. Für die zugehörigen Fixkörper L j gilt dann Q = L 0 ⊆ L 1 ⊆ . . . ⊆ L 2l = Q(ζ p ) und [L j+1 : L j ] = 2, d.h. ζ p ist konstruierbar. ⊓⊔
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Algebra WS 2011/2012 Joachim Hilger
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2 1 Gruppen ◦ g 1 g 2 g 3 . . . g
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3 Moduln In diesem Kapitel werden e
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