Skript - Universität Paderborn

48 2 Ringe
Allgemeiner kann man zeigen, dass jeder Hauptidealring faktoriell ist.
Bemerkung 2.4.4. Sei K ein Körper, dann ist K[X] nach Beispiel 2.3.4(ii) euklidisch,
also nach Satz 2.4.3 faktoriell. Ein Polynom vom Grad größer Null in K[X]
ist also genau dann prim, wenn es nicht als Produkt von zwei Polynomen vom Grad
größer Null geschrieben werden kann.
⊓⊔
Definition 2.4.5. Sei K ein Körper. Ein Polynom in K[X 1 , . . . , X k ], das nicht als
Produkt von zwei Polynomen vom Grad größer Null geschrieben werden, kann nennt
man auch irreduzibel.
Im Prinzip ist die Definition auch sinnvoll, wenn man K durch einen Integritätsbereich
ersetzt. Man verallgemeinert den Begriff Irreduzibilität für Elemente
von Integritätsbereichen (insbesondere Polynomringen über Integritätsbereichen)
aber in der folgenden Form: Sei R ein Integritätsbereich und a ∈ R keine Einheit.
Dann heißt a irreduzibel, wenn man a nicht in der Form a = rs schreiben kann,
wobei weder r ∈ R noch s ∈ R eine Einheit von R ist.
Diese Definition ist kompatibel mit der von irreduziblen Polynomen über Körpern,
weil die Einheiten in K[X] genau die von Null verschiedenen Elemente von K sind.
Andererseits ist für R = Z[X] das Element a = 2X reduzibel, weil 2 ∈ Z[X] keine
Einheit ist, obwohl man a nicht als Produkt von zwei Polynomen vom Grad größer
als Null schreiben kann.
Lemma 2.4.6. Sei R kommutativ und p ∈ R prim. Dann ist pR[X] ein Primideal
in R[X].
Beweis. Idee: Betrachte den kanonischen Homomorphismus ϕ: R → R/pR und ∑ a j X j ↦→
∑ ϕ(aj )X j , dann zeige, dass R[X]/pR[X] ein Integritätsbereich ist.
Sei ϕ: R → R/pR der kanonische Homomorphismus und ˜ϕ: R[X] → (R/pR)[X]
definiert durch ∑
aj X j ↦→ ∑ ϕ(a j )X j .
Dann ist ˜ϕ ein surjektiver Homomorphismus mit Kern
{ ∑ ∣ }
ker ˜ϕ = aj X j ∣∣ aj ∈ pR = pR[X].
Also (vgl. Übung 2.1.4) faktorisiert ˜ϕ zu einem Isomorphismus
R[X]/pR[X] ∼ = (R/pR)[X].
Insbesondere ist nach Proposition 2.2.10 und Proposition 2.2.4 (R/pR)[X] ein Integritätsbereich,
weil pR prim ist. Also ist auch R[X]/pR[X] ein Integritätsbereich,
und wieder mit Proposition 2.2.10 schließen wir, dass pR[X] prim in R[X] ist. ⊓⊔
Die Bemerkung nach Proposition 2.2.13 zeigt, dass in der Situation von Lemma
2.4.6 das Primelement p ∈ R, betrachtet als Element von R[X], auch prim
ist.
Definition 2.4.7. Sei R faktoriell. Ein Polynom f ∈ R[X] heißt primitiv, wenn
die Koeffizienten von f teilerfremd sind, d.h. es gibt kein Primelement p ∈ R, das
alle Koeffizienten teilt.