Skript - Universität Paderborn

Vorwort
Die Vorlesung ”
Algebra“ ist einer ersten Einführung in die Grundprinzipien der
abstrakten Algebra gewidmet. Behandelt werden exemplarisch die Gruppentheorie
und die Ringtheorie. Dabei führen wir die jeweiligen Unter- und Quotientenstrukturen
ein, den passenden Quotientenbegriff sowie diverse Spezialfälle, die sich aus
interessanten Beispielklassen ergeben.
In der Gruppentheorie betrachten wir auch Gruppenwirkungen, die man als eine
Abstrahierung des Symmetriebegriffs auffassen kann, und deuten an, wie Gruppenwirkungen
in der Lösung kombinatorischer Probleme eingesetzt werden können. In
der Ringtheorie konzentrieren wir uns jenseits der elementaren Strukturbeschreibung
auf die Verallgemeinerung der Teilbarkeitslehre. Der tiefliegenste Satz, den
wir hier beweisen, stammt von Gauß und besagt, dass die Eigenschaft, Elemente
in Primfaktoren zerlegen zu können, sich von einem Ring R auf den zugehörigen
Polynomring R[X] vererbt.
Abschließend besprechen wir die Anfangsgründe der Körpertheorie, um das Problem
des Lösens von Polynomgleichungen genauer erörtern zu können.
Das Kapitel 5 konnte in der Vorlesung aus Zeitgründen nicht behandelt werden.
Es wurde ins Skript aufgenommen, um den Studierenden die Gelegenheit zu geben,
Anwendungen der behandelten Theorien zu sehen.