Skript - Universität Paderborn

54 3 Moduln
(iii) Sei V ein K-Vektorraum und ϕ ∈ End K (V ) = Hom K (V, V ). Dann ist V ein
K[X]-Modul via ( ∑
aj X j) v := ∑ a j ϕ j (v).
(iv) Sei V ein K-Vektorraum. Dann ist V ein End(V )-Modul bzgl. ϕv := ϕ(v).
(v) Sei R ein Ring, dann macht die Ringmultiplikation R zu einem R-Modul.
(vi) Sei R ein Ring und I ein Ideal in R. Dann ist der Quotientenring R/I bzgl.
r(s+I) := rs+I ein R-Modul. Die R-Moduln von dieser Form heißen zyklisch.
(vii) Sei ψ : R → S ein Ringhomomorphismus und M ein S-Modul. Dann ist M ein
R-Modul via rm := ψ(r)m.
(viii) Sei Ω ⊆ R n eine offene Teilmenge und C ∞ (Ω, R m ) der Vektorraum aller glatten
Abbildungen von Ω nach R m . Dann ist C ∞ (Ω, R) ein Ring bzgl. der punktweisen
Addition und Multiplikation und C ∞ (Ω, R m ) ein C ∞ (Ω, R)-Modul bzgl. der
punktweisen Addition und skalaren Multiplikation. Außerdem ist C ∞ (Ω, R m )
ein R[X 1 , . . . , X n ]-Modul via
X 1 f = ∂f
∂x 1
, . . . , X n f = ∂f
∂x n
.
⊓⊔
Bemerkung 3.1.3. (i) Wenn R ein Körper ist, dann sind die Links-R-Moduln
gerade die R-Vektorräume.
(ii) Ganz analog definiert man Rechts-R-Moduln. Das Assoziativgesetz ist dann
x · (rs) = (x · r) · s und man sieht, dass für kommutative Ringe jeder Links-
Modul ein Rechts-Modul wird, wenn man nur das Ringelement auf die andere
Seite schreibt. Für kommutative Ringe ist die Verkürzung von Links-Moduln zu
Moduln daher ungefährlich. Wenn der Ring nicht-kommutativ ist, sollte man
explizit anmerken, wenn man Rechts-Moduln betrachtet.
⊓⊔
Beispiel 3.1.4. (i) Z n ist ein Z-Modul via z · (Z 1 , . . . , Z n ) = (zZ 1 , . . . , zZ n ).
(ii) Beispiel (i) verallgemeinert sich für jeden Ring R (Links-Modul).
(iii) C(R) ist ein C ∞ (R)-Modul.
(iv) Sei R ein Ring. Dann ist R bzgl. der Multiplikation von rechts auch ein Rechts-
R-Modul.
⊓⊔
Definition 3.1.5. Sei R ein Ring und M, N seien Links-R-Moduln. Eine Abbildung
ϕ: M → N heißt ein R-Modulhomomorphismus, wenn für alle r 1 , r 2 ∈ R und
m 1 , m 2 ∈ M gilt
ϕ(r 1 m 1 + r 2 m 2 ) = r 1 ϕ(m 1 ) + r 2 ϕ(m 2 ).
Die Menge der R-Modulhomomorphismen M → N wird mit Hom R (M, N) bezeichnet.
Eine Teilmenge U ⊆ M heißt ein Untermodul von M, wenn U − U ⊆ U und
RU ⊆ U gilt.
Beispiel 3.1.6. (i) Sei R ein Ring und I ein Ideal in R. Dann ist I ein Untermodul
des R-Moduls R. Umgekehrt ist in einem kommutativen Ring jeder Untermodul
von dieser Form.