Skript - Universität Paderborn

4.2 Zerfällungskörper 79
Satz 4.2.4. Sei K ein Körper und f ∈ K[X]. Dann gibt es eine Körpererweiterung
L/K so, dass f, betrachtet als Element von L[X], über L zerfällt.
Beweis. Induktion über deg(f) = n.
n = 1: Dann ist f = a 0 + a 1 X mit a j ∈ K und wir können L := K wählen.
n > 1: In diesem Fall kann man f = pq mit p ∈ K[X] irreduzibel schreiben
(evtl. ist dabei p = f).
1. Fall: Wenn deg(p) = 1, dann gibt es nach Induktion eine Körpererweiterung
L/K so, dass q über L zerfällt. Aber dann zerfällt auch f über L.
2. Fall: Wenn deg(p) > 1, dann liefert Proposition 4.2.2 eine Körpererweiterung
L 1 /K und ein r ∈ L 1 mit p(r) = 0. Nach Satz 4.1.3 können wir also
schreiben p = (X − r)h mit h ∈ L 1 [X] und Induktion liefert eine
Körpererweiterung L 2 /L 1 für die h über L 2 zerfällt. Aber dann zerfällt
p ebenfalls über L 2 und wir können, wieder mit Induktion, schließen,
dass es eine Körpererweiterung L/L 2 gibt, für die f über L zerfällt.
⊓⊔
Satz 4.2.5. Sei K ein Körper und p ∈ K[X] irreduzibel vom Grad deg(p) = d. Dann
ist L = K[X]/(p) ein Erweiterungskörper von K mit [L : K] = d.
Beweis. Nach Proposition 4.2.2 muss nur noch [L : K] = d gezeigt werden. Setze
α := X + (p) ∈ L. Dann gilt p(α) = 0.
Behauptung: {1, α, α 2 , . . . , α d−1 } ist eine K-Basis für L.
Wenn d−1 ∑
i=0
a i α i = 0 für a j in K gilt, dann ist α eine Nullstelle von f = d−1 ∑
j=0
a j X j .
Wäre f ≠ 0, so hätte man wegen deg(f) < deg(p), dass f /∈ (p), also f+(p) ∈ L\{0}.
Aber dann könnte man ein g ∈ K[X] mit fg ∈ 1+(p) finden und erhielte f(α)g(α) =
1. Daher haben wir f = 0, d.h. die lineare Unabhängigkeit von {1, α, α 2 , . . . , α d−1 }
über K.
Schreibe ein beliebiges f ∈ K[X] in der Form f = qp + r mit deg(r) < deg(p).
Dann gilt f + (p) = r + (p) ∈ span{1, α, . . . , α d−1 } ⊆ L und die Behauptung ist
bewiesen.
⊓⊔
Definition 4.2.6. L/K sei eine Körpererweiterung und α 1 , . . . , α n ∈ L. Dann
bezeichnet man den von K und {α 1 , . . . , α n } erzeugten Unterkörper von L mit
K(α 1 , . . . , α n ). Man sagt, K(α 1 , . . . , α n ) ist der durch Adjungieren von α 1 , . . . , α n
aus K gewonnene Körper. Die Körpererweiterung L/K heißt einfach, wenn es ein
α ∈ L mit L = K(α) gibt. Weiter heißt α ∈ L algebraisch über K, wenn es ein normiertes
Polynom f ∈ K[X] mit f(α) = 0 gibt. Andernfalls heißt α transzendent.
Die Körpererweiterung L/K heißt algebraisch, wenn jedes α ∈ L algebraisch
über K ist.
Bemerkung 4.2.7. Sei L/K eine Körpererweiterung.
(i) Wenn L = K(α) mit α ∈ L gilt, dann findet man
{ }
f(α)
L =
g(α) ∣ f, g ∈ K[X], g(α) ≠ 0 .