Skript - Universität Paderborn

2.3 Euklidische Ringe 45
Übung 2.3.2. Sei R ein euklidischer Ring. Man gebe einen Algorithmus an, der zu
a 1 , . . . , a k ∈ R einen ggT(a 1 , . . . , a k ) bestimmt.
Proposition 2.3.7. Sei R ein Hauptidealring. Wenn ggT(a, b) = 1 und a | bc, dann
gilt a | c.
Beweis. Wegen Proposition 2.3.5 gibt es r, s ∈ R mit 1 = ra+sb, also c = cra+csb.
Mit der Voraussetzung findet man dann ein d ∈ R mit bc = ad. Dies liefert c =
a(cr + sd) und schließlich a | c.
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Lemma 2.3.8. Sei R ein euklidischer Ring mit Gradfunktion g. Seien a, b ∈ R\{0}.
Wenn b | a, aber nicht a | b, dann gilt g(b) < g(a).
Beweis. Idee: Teile mit Rest.
Die Voraussetzungen zeigen: Einerseits gilt b = qa+r mit r ≠ 0 und g(r) < g(a),
andererseits haben wir a = cb. Daher rechnet man
r = b − qa = (1 − qc)b
und findet g(a) > g(r) ≥ g(b).
⊓⊔
Proposition 2.3.9. Sei R ein Hauptidealring. Dann ist jedes Primideal I ≠ {0}
maximal.
Beweis. Idee: Schreibe den Erzeuger von I als Produkt und wende Proposition 2.2.13
an.
Sei I ≠ {0} prim und J ✁ R ein Ideal, das I enthält. Da R ein Hauptidealring
ist, gibt es a, b ∈ R mit I = (a) und J = (b). Nach Proposition 2.2.13(iii) ist a ∈ R
prim. Wegen I ⊂ J gilt a = br mit r ∈ R. Jetzt zeigt Proposition 2.2.13(i), dass
r oder b eine Einheit ist. Im ersten Fall gilt I = J und im zweiten J = R. Dies
beweist die Maximalität von I.
⊓⊔
Übung 2.3.3. Sei R ein euklidischer Ring mit Gradfunktion g. Zeige:
(i) g(1) ≤ g(r) für alle r ∈ R.
(ii) Wenn g(b) = g(1), dann ist b eine Einheit in R.
Übung 2.3.4. Sei n ∈ Z eine quadratfreie Zahl und √ n ∈ C eine Wurzel von n. Zeige:
(i) Q( √ n) := {x+y √ n: x, y ∈ Q} ist ein Körper bzgl. der üblichen Operationen. (Hinweis:
Für u = x + y √ n ∈ Q( √ n) betrachte u = x − y √ n ∈ Q( √ n).)
(ii) Z[ √ n] := {x + y √ n: x, y ∈ Z} ist ein Unterring von Q( √ n).
(iii) Die Funktion g(u) = |uu| ist für n = −1, −2, 2 eine Gradfunktion für R.
(iv) Der Ring Z[ √ −5] ist kein Hauptidealring. (Hinweis: Benütze 9 = 3·3 = (2+ √ −5)(2−
√ −5) um zu zeigen, dass 3Z[
√ −5] zwar maximal in der Menge aller Ideale der Form
xZ[ √ −5], d.h. in der Menge aller Hauptideale ist, aber nicht prim ist.)
Übung 2.3.5.
(i) Man zeige: Z[ √ −3] ist kein Hauptidealring.
(ii) Ist Z[ √ −3] ein euklidischer Ring