Skript - Universität Paderborn

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Moduln
In diesem Kapitel werden elementare Strukturaussagen für Moduln bewiesen. Moduln
verallgemeinern sowohl das Konzept des Vektorraums (indem man von den
Skalaren nur verlangt, dass sie aus einem Ring kommen), das Konzept der abelschen
Gruppe (auf denen man automatisch eine skalare Multiplikation mit ganzen
Zahlen hat), als auch das Konzept eines Ideals (mit den Ringelementen als Skalaren).
Kanonisch ergeben sich aus der Definition eines Moduls die Begriffe Untermodul,
Quotientenmodul und Modulhomomorphismus. Weitere Begriffsbildungen wie die
Basen und freie Moduln werden aus den speziellen Beispielen durch Abstraktion gewonnen.
Ein wesentliches Resultat dieses Kapitels ist die kanonische Zerlegung eines
endlich erzeugten Moduls als direkte Summe von zyklischen Moduln, aus der man
diverse Resultate über Normalformen von linearen Abbildungen auf Vektorräumen
ableiten kann.
3.1 Die Modulaxiome
Definition 3.1.1. Sei R ein Ring. Ein Links-R-Modul (oder einfach R-Modul)
M ist eine abelsche Gruppe mit einer Abbildung
die folgenden Bedingungen genügt:
R × M → M, (r, m) ↦→ rm,
(i) (r 1 r 2 )m = r 1 (r 2 m) für alle r 1 , r 2 ∈ R und alle m ∈ M.
(ii) (r 1 + r 2 )m = r 1 m + r 2 m für alle r 1 , r 2 ∈ R und alle m ∈ M.
(iii) r(m 1 + m 2 ) = rm 1 + rm 2 für alle m 1 , m 2 ∈ M und alle r ∈ R.
(iv) 1m = m für alle m ∈ M.
Beispiel 3.1.2. (i) (M, +) abelsche Gruppe. Dann ist M ein Z-Modul via
⎧
⎪⎨
n · a =
⎪⎩
a + . . . + a
} {{ }
n−mal
n ∈ N
0 n = 0
−n ∈ N
− (a + . . . + a)
} {{ }
(−n)−mal
(ii) Jeder K-Vektorraum V ist ein K-Modul bzgl. der Vektorraum-Operationen.