Skript - Universität Paderborn

36 2 Ringe
2. Für a ∈ R × und x ∈ Nil(R) ist a + x ∈ R × .
Übung 2.1.9 (Einheiten). Sei R ein Ring. Bestimme alle Einheiten im Ring R[[X]] der
formalen Potenzreihen in einer Variablen über R.
Übung 2.1.10 (Nullteiler und Nicht-Einheiten). Sei R ein Ring.
1. Ein Element r ∈ R \ {0} heißt Nullteiler, falls es ein Element s ∈ R \ {0} gibt mit
rs = 0 oder sr = 0. Bestimme alle Nullteiler von Z/nZ für n ∈ Z.
2. Zeige anhand eines Beispiels: Im Allgemeinen folgt aus rs = 1 für r, s ∈ R nicht
notwendig, dass r und s Einheiten in R sind.
Hinweis: Betrachte zum Beispiel R = (End(V ), +, ◦), wobei V der Vektorraum aller
reellen Folgen ist.
2.2 Integritätsbereiche
Definition 2.2.1. Sei R ein Ring. Ein Element r ∈ R \ {0} heißt Nullteiler, wenn
0 ∈ r(R \ {0}) ∪ (R \ {0})r. Ein Integritätsbereich ist ein kommutativer Ring R
mit 1 ≠ 0 ohne Nullteiler.
Beispiel 2.2.2. (i) Jeder Unterring eines Körpers ist ein Integritätsbereich: Wenn
r ≠ 0 und sr = 0, dann folgt 0 = 0 · r −1 = srr −1 = s und analog für rs = 0.
Insbesondere ist Z ⊆ Q ein Integritätsbereich.
(ii) Z/4Z ist kein Integritätsbereich, weil [2] · [2] = [0]. Dagegen ist Z/2Z sogar ein
Körper. Wir werden später sehen, dass Z/nZ genau dann ein Integritätsbereich
ist, wenn es ein Körper ist, und dies genau dann auftritt, wenn n (bzw. −n)
eine Primzahl ist.
⊓⊔
Proposition 2.2.3. Wenn R ≠ {0}, dann sind äquivalent
(1) R ist Integritätsbereich.
(2) Aus ra = rb mit r ≠ 0 folgt a = b.
Beweis. Für die Implikation ”
(1) ⇒ (2)“ schließt man
r ≠ 0, ra = rb =⇒ r(a − b) = 0
(1)
=⇒ a − b = 0 =⇒ a = b
und die Umkehrung sieht man mit
r ≠ 0, ra = 0 =⇒ ra = r0
(2)
=⇒ a = 0.
⊓⊔
Proposition 2.2.4. Wenn R ein Integritätsbereich ist, dann sind auch der Ring
R[[X 1 , . . . , X k ]] der formalen Potenzreihen und der Ring R[X 1 , . . . , X k ] der Polynome
über R Integritätsbereiche.