Skript - Universität Paderborn

1.2 Gruppenwirkungen 9
Die folgende Proposition zeigt, wie man in sehr allgemeinen Situationen aus
Gruppenwirkungen Darstellungen machen kann.
Proposition 1.2.12. Sei G eine Gruppe und G × X → X eine Gruppenwirkung.
Weiter sei Y eine beliebige nichtleere Menge sowie F(X, Y ) die Menge der Abbildungen
von X nach Y . Dann definiert
Φ: G × F(X, Y ) → F(X, Y ), (g · f)(x) = f(g −1 · x)
eine Gruppenwirkung. Wenn Y ein Vektorraum ist und F(X, Y ) die durch die
punktweisen Operationen definierte Vektorraumstruktur trägt, dann ist Φ eine Darstellung.
Beweis. Übung.
⊓⊔
Übung 1.2.1 (Affine Gruppe). Für n ∈ N sei G := GL(n, R) × R n . Bestimme eine Gruppenstruktur
auf G, so dass
eine Gruppenwirkung von G auf R n ist.
Φ : G × R n → R n , ((A, v), x) ↦→ Ax + v
Übung 1.2.2 (Äquivalenzklassen). Für n ∈ N sei
Φ n : Z × Z → Z, (k, l) ↦→ k ⋆ l := l + n · k .
Zeige, dass Φ n eine Gruppenwirkung von Z auf sich selbst definiert und bestimme die Bahn
[l] eines Elements l ∈ Z und den Bahnenraum. Zeige, dass
wohldefiniert sind.
[l] + [l ′ ] := [l + l ′ ] und [l] · [l ′ ] := [l · l ′ ]
Übung 1.2.3 (Bahnen). Sei G = O(2, R) und X = {A ∈ Mat(2 × 2, R) | A = A T } die
Menge der symmetrischen (2 × 2)-Matrizen. Definiere
Φ : G × X → X, (g, A) ↦→ gAg −1 .
Zeige, dass Φ eine Gruppenwirkung von G auf X ist. Bestimme den Bahnenraum und
beschreibe die Bahnen mit Hilfe von det A und tr A.
Übung 1.2.4 (Gruppenwirkung und Äquivalenzklassen). Beweise Proposition 1.2.6 aus
der Vorlesung: Ist G × X → X eine Gruppenwirkung, so definiert
x ∼ y : ⇐⇒ ∃g ∈ G mit g · x = y
eine Äquivalenzrelation auf X. Die Äquivalenzklasse von x ∈ X ist gegeben durch
G · x = {g · x | g ∈ G} .
Übung 1.2.5 (Diskrete dynamische Systeme). Für A ∈ GL(n, C) betrachte das diskrete
dynamische System (d.h. folgende Gruppenwirkung von Z auf C n )
Φ : Z × C n → C n , (k, v) ↦→ A k v .
Zeige: Es gibt genau dann endliche Bahnen außerhalb von {0} ⊆ C n , wenn A einen Eigenwert
λ ∈ C hat mit λ k = 1 für ein k ∈ N.