Skript - Universität Paderborn

2.4 Faktorielle Ringe 51
(i) Man beweise, dass dieser Ring mit der Norm g(a + bi) := a 2 + b 2 euklidisch ist (Rechnung
ausführen!).
(ii) Ist Z[i] faktoriell
(iii) Man bestimme die Einheitengruppe von Z[i]. (Hinweis: Man überlege, wie Inverse
gebildet werden in Zusammenhang mit der Norm.)
Übung 2.4.4. Sei n ∈ Z mit n /∈ {k 2 |k ∈ Z} und √ n ∈ C eine Wurzel von n. Sei Z[ √ n] =
{a + b √ n | a, b ∈ Z} wie in Übung 2.3.4.
1. Zeige, dass die Normabbildung
N : Z[ √ n] → N, x = a + b √ n → N(x) := |a 2 − nb 2 |
die Eigenschaft N(xy) = N(x)N(y) erfüllt für alle x, y ∈ Z[ √ n].
2. Zeige: x ∈ Z[ √ n] × genau dann, wenn N(x) = 1.
3. Zeige, dass Z[ √ −5] nicht faktoriell ist.
Hinweis: Zeige, dass 3 ∈ Z[ √ −5] irreduzibel aber nicht prim ist, vgl. Übung 2.2.11
Übung 2.4.5 (Teilbarkeit). Sei R faktoriell und K der Quotientenkörper von R, f ∈ R[X]
und g ∈ K[X]. Zeige: Wenn die höchsten Koeffizienten von f und g gleich 1 sind und g|f
in K[X], dann ist g ∈ R[X].
Übung 2.4.6 (Irreduzibilitätkriterium). Sei ϕ : R → S ein Homomorphismus von Integritätsbereichen
R, S. Zeige:
1. Die Abbildung
˜ϕ : R[X] → S[X], f =
n∑
c iX i ↦→ ˜ϕ(f) :=
i=0
n∑
ϕ(c i)X i
ist ein Ringhomomorphismus.
2. Sei f ∈ R[X] primitiv und deg( ˜ϕ(f)) = deg(f) > 0. Ist ˜ϕ(f) irreduzibel, so ist f
irreduzibel.
3. f = X 4 + 3X 3 + X 2 − 2X + 1 ist irreduzibel in Z[X].
Übung 2.4.7 (Primelemente). Sei R ein faktorieller Ring. Zeige, dass es in R[X] unendlich
viele normierte Polynome gibt, die prim sind.
i=0