Skript - Universität Paderborn

5.2 Die Galoisgruppe 93
Beweis. Zu zeigen ist wegen Proposition 5.2.3) nur, dass man zu einer einfachen
Körpererweiterung E = F(β), β k ∈ F Zwischenkörper F = F 0 ⊆ F 1 ⊆ . . . ⊆ F r = E
mit F j = F j−1 (β j ), β p j
j ∈ F j−1 und p j | k prim finden kann. Dazu schreibe
k = p 1 · · · p r (mit Wiederholung) und setze β r = β, β j−1 = β pj
j . ⊓⊔
Proposition 5.2.5. Sei B/K eine endliche Körpererweiterung. Dann gibt es eine
Körpererweiterung L/B so, dass L der Zerfällungskörper eines Polynoms f ∈ K[X]
ist.
Beweis. Sei {β 1 , . . . , β n } eine K-Basis für B und f 1 , . . . , f n ∈ K[X] seien die zugehörigen
Minimalpolynome (vgl. Bemerkung 4.2.7). Mit dem Zerfällungskörper L
von f := f 1 · · · f n gilt dann B ⊆ K(β 1 , . . . , β n ) ⊆ L.
⊓⊔
Lemma 5.2.6. Sei f ∈ K[X] und L der Zerfällungskörper von f über K. Wenn
σ ∈ Aut K (L) := {ϕ : L → L | Automorphismus mit σ| K = id K } und f(α) = 0 für
α ∈ L. Dann ist auch σ(α) Nullstelle von f.
Beweis. Mit f = ∑ a j X j finden wir ∑ a j α j = 0 und daher
0 = ∑ σ(a j )σ(α) j = ∑ a j σ(α) j = f ( σ(α) ) .
⊓⊔
Definition 5.2.7. Die Gruppe Aut K (L) zu einer Erweiterung L/K heißt die Galoisgruppe
von L/K und wird mit Gal(L/K) bezeichnet. Wenn f ∈ K[X] und L der
Zerfällungskörper von f über K, dann heißt Gal K (f) := Gal(L/K) die Galoisgruppe
von f über K.
Satz 5.2.8. Wenn f ∈ K[X] n = deg(f) verschiedene Nullstellen in seinem
Zerfällungskörper L hat, dann ist Gal K (f) isomorph zu einer Untergruppe von S n .
Beweis. Sei M = {α 1 , . . . , α n } die Menge der Nullstellen von f in L. Dann zeigt
Lemma 5.2.6, dass σ(M) ⊆ M für alle σ ∈ Gal K (f). Aber damit ist σ : M → M
automatisch bijektiv, weil M endlich ist. Mit Proposition 4.2.8 findet man L =
K(α 1 , . . . , α n ) und erkennt, dass
Gal f (f) −→ S n
σ ↦−→ σ| M
ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.
⊓⊔
Proposition 5.2.9. Wenn f ∈ K[X] separabel ist und L der Zerfällungskörper von
f über K, dann gilt | Gal K (f)| = [L : K].
Beweis. Dies erhält man aus Satz 4.2.16 (ii), angewandt auf id K : K → K.
⊓⊔
Beispiel 5.2.10. (i) Das Polynom f = X 2 + 1 ∈ R[X] hat den Zerfällungskörper
C, also gilt | Gal R (f)| ≤ 2 und das liefert Gal R (f) ∼ = {±1}, weil die komplexe
Konjugation σ : C → C, z ↦→ z in Gal R (f) ist.