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110 Sachverzeichnis innerer, 19 Bahn einer Gruppenwirkung, 7 Bahnenabbildung, 14 Bahnengleichung, 15 Bahnenraum einer Gruppenwirkung, 7 Basis eines Moduls, 56 Bild eines Gruppenhomomorphismus, 19 eines Modulhomomorphismus, 55 Binomialformel in Charakteristik p, 83 Burnside Lemma von, 15 Burnside, William (1852–1927), 15 Cauchy -Produkt, auf formalen Potenzreihen, 32 Charakter einer Gruppe, 100 Charakteristik eines Körpers, 83 charakteristische Polynom, 34 charakteristisches Polynom, 70 Chevalley, Claude (1909–1984), 72 Chinesischer Restsatz, 67 Darstellung einer Gruppe, 8 Dedekind, (Julius Wilhelm) Richard (1831–1916), 100 Delisches Problem, 89 Derivation einer Polynomalgebra, 84 Diagramm kommutatives, 58 Diedergruppe, 3 direkte Summe von Moduln, 59 direktes Produkt von Gruppen, 5 von Moduln, 59 Distributivgesetz, 29 Division mit Rest in einem euklidischen Ring, 43 Divisionsring, 30 dynamisches System reversibles, 8 Ecke eines Graphen, 4 einfache Körpererweiterung, 79 Einheit in einem Ring, 30 Einparametergruppe, 18 diskrete, 18 Einselement einer Gruppe, 1 Eisenstein -Kriterium, 86 Eisenstein, Ferdinand Gotthold Max (1823–1852), 86 Element irreduzibles, 48 endliche Erweiterung, 78 Erlanger Programm, 6 Erweitedrungskörper, 78 Erweiterung endliche, 78 reine, 92 Erzeugnis in einem Modul, 56 euklidischer Algorithmus, 44 euklidischer Ring, 43 f.f.a., ” für fast alle“, 11 Faktormodul, 55 Fermat Primzahl, 90 Fixkörper einer Automorphismengruppe, 101 Fixpunkt einer Gruppenwirkung, 15 Frobenius -Automorphismus, für Körper endlicher Charakteristik, 83, 98 Frobenius, (Ferdinand) Georg (1849-1917), 83, 98 für fast alle, 11 G-Raum, 14 Galois -Felder, 84 Erweiterung, 103 Galoisgruppe einer Körpererweiterung, 93 Gauß -Zahlen, 30 Gauß, Carl Friedrich (1777–1855), 30, 50 Gauß, Johann Friedrich Carl (Originalname), 30 gebrochen lineare Abbildung, 8 Grad einer Körpererweiterung, 78 eines Polynoms, 32 Gradfunktion, 43 Graph, 4 -Automorphismus, 4 größter gemeinsamer Teiler, 38 Gruppe abelsche, 1 affine, 18 allgemeine lineare, 4 auflösbare, 96
Sachverzeichnis 111 einfache, 22 orthogonale, 4 Quotienten-, 23 spezielle lineare, 4 spezielle orthogonale, 4 spezielle unitäre, 4 symplektische, 4 unipotente, 4 unitäre, 4 zyklische, 12, 24 Gruppen, 1 -Automorphismus, 18 -Darstellung, 8 -Homomorphismus, 18 -Isomorphismus, 18 -Operation, 6 -Tafel, 1 -Wirkung, 6 -Wirkung, transitive, 7 Gruppenordnung, 25 Halbgruppe, 1 Hauptideal, 33 Hauptidealring, 43 Hauptsatz der Galoistheorie, 104 Heisenberg -Gruppe, 11 Heisenberg, Werner (1901–1976), 11 Hilbert Satz 90, 105 Hilberts Satz 90, 105 homogener Raum, 7 homogenes Polynom, 32 Homomorphismus Gruppen-, 18 Modul-, 54 Ring-, 32 Ideal, 32 -Links, 55 -Rechts, 55 maximales, 38 von einer Menge erzeugtes, 33 Index einer Untergruppe, 13 Inhalt, 49 innere direkte Summe von Untermoduln, 61 Integritätsbereich, 36 Invarianz der Basislänge für freie Moduln, 57 inverses Element in einer Gruppe, 1 irreduzibles Element, 48 irreduzibles Polynom, 48 Isomorphiesatz dritter, für Gruppen, 24 erster, für Gruppen, 23 zweiter, für Gruppen, 23 Isomorphismus Gruppen-, 18 Modul-, 55 Ring-, 33 Isotropiegruppe, 13 Jordan -Block, 71 -Normalform, 72 Jordan, Camille (1838–1922), 72 Jordan–Chevalley–Zerlegung, 72 Körper perfekter, 91 Körpererweiterung, 78 separable, 91 Kante eines Graphen, 4 Kern eine Modulhomomorphismus, 55 eines Gruppenhomomorphismus, 19 eines Ringhomomorphismus, 33 Körper algebraisch abgeschlossener, 71 Körpererweiterung algebraische, 79 einfache, 79 transzendente, 79 Körpererweiterung, 46 Kommutativgesetz für Gruppen, 1 multiplikativ, 29 Kommutatorgruppe, 21 Kompositum zweier Körper, 95 Konjugation, 19 Konjugationsklasse, 19 Konjugierte, 19 konjugierte Zwischenkörper, 103 konstruierbare Punkte, 87 Zahlen, 87 Kreisquadrierung, 89 Kreisteilungspolynom, 86 Kürzungsregeln, 2 kurze exakte Sequenz, 62 Lagrange Satz von, 15 Lagrange, Joseph Louis (1736–1813), 15 Leitkoeffizient, 32 Lemma von Burnside, 15 von Gauß, 49 lexikographische Ordnung, 37 Lindemann, Ferdinand von (1852–1939), 89 Linearkombination in einem Modul, 56
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Algebra WS 2011/2012 Joachim Hilger
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Inhaltsverzeichnis 1 Gruppen. . . .
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2 1 Gruppen ◦ g 1 g 2 g 3 . . . g
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4 1 Gruppen Beispiel 1.1.7 (Graphen
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6 1 Gruppen Übung 1.1.10 (Abelsche
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8 1 Gruppen (iii) Sei C + := {z ∈
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10 1 Gruppen Übung 1.2.6. Seien G
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12 1 Gruppen (i) Für jede Familie
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14 1 Gruppen Die Abbildung G/U →
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16 1 Gruppen X M x g G Damit könne
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18 1 Gruppen 1.4 Homomorphismen, No
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20 1 Gruppen (iii) ϕ ist genau dan
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22 1 Gruppen (vii) Sei ϕ: G → H
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24 1 Gruppen (ii) gN = Ng für alle
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26 1 Gruppen Beweis. Idee: Dies fol
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28 1 Gruppen Übung 1.4.24 (Einheit
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30 2 Ringe (iii) Die n×n-Matrizen
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32 2 Ringe R[[X 1 , . . . , X k ]]
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34 2 Ringe Offensichtlich ist Φ :
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36 2 Ringe 2. Für a ∈ R × und x
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38 2 Ringe Der in Satz 2.2.5 konstr
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40 2 Ringe Proposition 2.2.13. Sei
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42 2 Ringe 2.3 Euklidische Ringe Sa
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44 2 Ringe (ii) Setze 〈a, b〉 :=
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46 2 Ringe (iii) Man zeige, dass di
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48 2 Ringe Allgemeiner kann man zei
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50 2 Ringe Beweis. Idee: Man führt
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3 Moduln In diesem Kapitel werden e
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3.1 Die Modulaxiome 55 (ii) Seien V
Seite 61 und 62:
3.2 Basen und freie Moduln 57 Beisp
Seite 63 und 64: } (r · f)(λ) = r · f(λ) (f + f
Seite 65 und 66: 3.2 Basen und freie Moduln 61 Bemer
Seite 67 und 68: 3.3 Moduln über euklidischen Ringe
Seite 73 und 74: 3.4 Anwendung auf lineare Abbildung
Seite 75 und 76: 3.4 Anwendung auf lineare Abbildung
Seite 77: 3.4 Anwendung auf lineare Abbildung
Seite 80 und 81: 76 4 Körpererweiterungen k ≥ 1:
Seite 82 und 83: 78 4 Körpererweiterungen ⊓⊔ Ü
Seite 84 und 85: 80 4 Körpererweiterungen (ii) Sei
Seite 86 und 87: 82 4 Körpererweiterungen Beweis. N
Seite 88 und 89: 84 4 Körpererweiterungen Propositi
Seite 90 und 91: ̸ ̸ ̸ ̸ 86 4 Körpererweiterung
Seite 92 und 93: 88 4 Körpererweiterungen Beweis. D
Seite 94 und 95: 90 4 Körpererweiterungen sein kann
Seite 96 und 97: 92 5 Auflösbarkeit von Gleichungen
Seite 104 und 105: 100 5 Auflösbarkeit von Gleichunge
Seite 113: Sachverzeichnis Φ p , Kreisteilung
Seite 117: Sachverzeichnis 113 eines Polynoms,
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