Skript - Universität Paderborn

16 1 Gruppen
X
M
x
g
G
Damit können wir |M| auf zwei verschiedene Weisen berechnen: Mit Bemerkung
1.3.14 findet man
|M| = ∑ |G x | = ∑
x∈X x∈X
= ∑ ∑
B∈G\X x∈B
= ∑
B∈G\X
während andererseits auch gilt
|G|
|G · x|
|G|
|G · x| = ∑
|G| = |G\X||G|
|M| = ∑ g∈G
|Fix(g)|.
∑
B∈G\X x∈B
|G|
|B|
Ein Vergleich der beiden Formeln zeigt jetzt die Behauptung.
⊓⊔
Lösung des kombinatorischen Problems: 1000 = 2 3 5 3 . Wenn man ansetzt
mit α i , β i ∈ N 0 , dann muss gelten
1000 = abc = (2 α1 5 β1 )(2 α2 5 β2 )(2 α3 5 β3 )
α 1 + α 2 + α 3 = 3
β 1 + β 2 + β 3 = 3
Die Menge X aller (α 1 , α 2 , α 3 , β 1 , β 2 , β 3 ), die die obigen Gleichungen erfüllen, hat
10 · 10 = 100 Elemente: Für die α’s hat man 3 Möglichkeiten der Verteilung nach
3, 0, 0 sowie 6 Möglichkeiten der Verteilung nach 2, 1, 0. Dazu kommt die Verteilung
1, 1, 1, macht zusammen 10. Analog für die β’s. Die Gruppentheorie kommt jetzt
zum tragen, weil wir eine Vertauschung der Faktoren nicht berücksichtigen wollen,
d.h. eine Symmetrie einbauen: Die Gruppe S 3 wirkt auf X via
σ · (α 1 , α 2 , α 3 , β 1 , β 2 , β 3 ) = (α σ1 , α σ2 , α σ3 , β σ1 , β σ2 , β σ3 ).
Die gesuchte Anzahl ist genau die Anzahl |S 3 \X| der Bahnen! Dazu berechnen wir
die Größe der Fixpunktmengen:
|Fix(id)| = 100 = 10 2
|Fix(12)| = 4 = 2 2 = |Fix(13)| = |Fix(23)|
|Fix(123)| = 1 = 1 2 = |Fix(132)|.
Mit dem Burnside-Lemma finden wir jetzt:
|S 3 \X| = 1 ∑
|Fix(σ)| = 1 · 100 + 3 · 4 + 2 · 1 = 19.
|S 3 |
6
σ∈S 3