Skript - Universität Paderborn

68 3 Moduln
Proposition 3.3.5. Sei R euklidisch und r ∈ R habe die Faktorzerlegung r =
up n1
1 · · · pn k
k
mit p j ∈ R nichtassoziierte Primelemente und u ∈ Unit(R). Dann
gilt
R/rR ∼ k⊕
= R/p n i
i R.
i=1
Beweis. Induktion über k: Schreibe r = r ′ p n k
k
. Dann sind r′ und p n k
k
teilerfremd, d.h.
wir haben mit Proposition 2.3.5 R = r ′ R + p n k
k
R. Mit dem Chinesischen Restsatz
(d.h. Lemma 3.3.4) und Induktion folgt
( k−1
)
⊕
R/rR ∼ = R/r ′ R ⊕ R/p n k
k R ∼ = R/p ni
i R ⊕ R/p n k
k R ∼ k⊕
= R/p ni
i R.
i=1
i=1
⊓⊔
Übung 3.3.3 (Chinesischer Restsatz).
1. Seien m, n ∈ Z teilerfremd, und seien a, b ∈ Z. Zeige, dass es für das System von
Kongruenzengleichungen
x ≡ a mod m,
x ≡ b
mod n
eine Lösung x ∈ Z gibt. Bestimme alle Lösungen.
2. Löse folgendes System von Kongruenzgleichungen
x ≡ 3 mod 5,
x ≡ 5 mod 8,
x ≡ 2 mod 7.
Übung 3.3.4. Als eine Bande von 17 Piraten ihre Beute bestend aus n Talern gleichmäßig
unter sich aufteilen wollte, blieben 3 Taler übrig, und die Piraten beschlossen, diese ihrem
chinesichen Koch Wun Tu als Dank für die gute Verpflegung zukommen zu lassen. Doch
6 Piraten starben bei einem Gefecht, und als die übrigen die Beute erneut unter sich
aufteilen wollten, blieben 4 Taler übrig, und wieder beschlossen sie, diese ihrem Koch zu
geben. Schließlich ging ihr Schiff unter, und nur 6 Piraten, der Koch und die Beute wurden
gerettet. Als nun die überlebenden 6 Piraten die Beute unter sich aufteilen wollten, blieben
für den Koch 5 taler übrig. Nun aber hatte der Koch genug von seinen ach so gütigen herren.
Er zauberte ihnen eine wohlschmeckende Pilzsuppe, die keiner der Piraten überlebte. So
konnte er alle n Taler für sich behalten. Welches sind die zwei kleinstmöglichen Werte für
n
Übung 3.3.5 (Ostern). Der Ostertermin wurde auf den ersten Sonntag nach dem Frühlingsvollmond
festgelegt. Um diesem Datum eine mathematische Grundlage zu geben, hat Carl Friedrich
Gauß folgende Berechnungsmethode ersonnen:
Für unseren Gregorianischen Kalender seien M, N ∈ N 0 für das Jahrhundert von 100·k
bis 100 · k + 99 wie folgt gegeben: Es seien p := [ ] [
k
3 und q := k
]
4 , wobei [x] die Abrundung
der Zahl x ist. Dann ist M der Rest der Division von 15 + k − p − q durch 30, und N der
Rest der Division von 4 + k − q durch 7.
Außerdem ergebe die Division
der Jahreszahl durch 19 den Rest a ,
der Jahreszahl durch 4 den Rest b ,
der Jahreszahl durch 7 den Rest c ,
der Zahl 19a + M durch 30 den Rest d ,
der Zahl 2b + 4c + 6d + N durch 7 den Rest e .
Dann fällt der Ostersonntag auf den (22 + d + e)-ten März oder den (d + e − 9)-ten
April. Dabei gibt es die zwei Ausnahmen: