Skript - Universität Paderborn

2
Ringe
In diesem Kapitel werden elementare Strukturaussagen für Ringe bewiesen. Ringe
verallgemeinern in natürlicher Weise sowohl das Konzept der ganzen Zahlen mit
Addition und Multiplikation als auch das der quadratischen Matrizen mit komponentenweiser
Addition und Matrizenmultiplikation oder das der Polynomfunktionen
mit punktweiser Addition und Multiplikation. Kanonisch ergeben sich aus der Definition
eines Rings die Begriffe Unterring und Quotientenring, wobei die Suche nach
einem geeigneten Quotientenbegriff auf das Konzept des Ideals führt. Ebenso kanonisch
ist der Begriff des Ringhomomorphismus, der den Vergleich verschiedener
Ringe möglich macht. Weitere Begriffsbildungen wie die Nullteilerfreiheit, Gradfunktion,
Primelemente oder der Polynomring werden aus den speziellen Beispielen
durch Abstraktion gewonnen. Ein wesentliches Resultat dieses Kapitels ist, dass sich
die Zerlegbarkeit der Elemente in Primelemente von einem Ring auf den zugehörigen
Polynomring vererbt. Es geht auf Gauß zurück.
2.1 Ringe und Ideale
Definition 2.1.1. Sei R ≠ ∅ eine Menge sowie +: R × R → R (Addition) und
·: R × R → R (Multiplikation) zwei Abbildungen. (R, +, ·) heißt Ring, wenn die
folgenden Eigenschaften gelten.
(i) (R, +) ist eine abelsche Gruppe.
(ii) (R, ·) ist ein Monoid.
(iii) (x + y) · z = x · z + y · z ( ”
Punkt vor Strich“) für alle x, y, z ∈ R
(Rechts-Distributivgesetz).
(iii’) z · (x + y) = z · x + z · y ( ”
Punkt vor Strich“) für alle x, y, z ∈ R
(Links-Distributivgesetz).
Ein Ring (R, +, ·) heißt kommutativ, wenn xy = yx für alle x, y ∈ R gilt (multiplikatives
Kommutativgesetz).
Das Distributivgesetz ist eine Verträglichkeitsbedingung für beide Verknüpfungen.
Die Assoziativgesetze erlauben das Weglassen von Klammern bei mehrfachen Verknüpfungen.
In der Regel wird der Punkt in der Multiplikation weggelassen.
Beispiel 2.1.2. (i) Jeder Körper ist ein kommutativer Ring.
(ii) (Z, +, ·) ist ein kommutativer Ring.