Skript - Universität Paderborn

5.4 Der Hauptsatz der Galoistheorie 105
Lemma 5.4.17. Sei L Zerfällungskörper von f ∈ K[X] über K und G = Gal(L/K).
Wenn ˜K/L eine Erweiterung ist und ˜L ⊇ L Zerfällungskörper von f ∈ ˜K[X] über
˜K, dann ist
ein injektiver Gruppenhomomorphismus.
Gal(˜L/˜K) → Gal(L/K)
σ ↦→ σ| L
Beweis. Schreibe L = K(α 1 , . . . , α n ) und ˜L = ˜K(α 1 , . . . , α n ) mit den Nullstellen
α 1 , . . . , α n von f in L. Jedes σ ∈ Gal(˜L/˜K) läßt die Menge {α 1 , . . . , α n } invariant.
Also gilt σ(L) = L (da ja σ| K = id) und wir sehen, dass die angegebene Abbildung
ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist. Da σ ist durch seine Werte auf
{α 1 , . . . , α n } vollständig bestimmt, folgt auch die Injektivität. ⊓⊔
Sei L/K eine Galoiserweiterung und α ∈ L × = L \ {0} sowie G := Gal(L/K). Dann
heißt
N(α) := ∏ σ(α)
σ∈G
die Norm von α.
Bemerkung 5.4.18. (i) N(α) ∈ K × für alle α ∈ L × (weil G-invariant).
(ii) Es gilt N(αβ) = N(α)N(β) für alle α, β ∈ L × und N(1) = 1, d.h. N : L × → K ×
ist ein Gruppenhomomorphismus.
(iii) Für α ∈ K × gilt N(α) = α n mit n = [L : K] = |G|.
(iv) N ( σ(α) ) = N(α) für alle α ∈ L × und alle σ ∈ G.
Lemma 5.4.19 (Hilberts Satz 90). Sei L/K eine Galoiserweiterung mit G =
Gal(L/K) ∼ = Z/nZ. Mit G = 〈σ〉 sind dann für α ∈ L × folgende Aussagen
äquivalent:
(1) N(α) = 1.
(2) Es gibt ein β ∈ L mit α = βσ(β) −1 .
Beweis. ”
(2)⇒(1)“: N(α) = N ( βσ(β) −1) = N(β)N ( σ(β) ) −1
= N(β)N(β) −1 = 1.
” (1)⇒(2)“: Setze δ 0 = α, δ 1 = ασ(α), . . . , δ n−1 = ασ(α)σ 2 (α) . . . σ n−1 (α). Dann
gilt δ n−1 = N(α) = 1.
Korollar 5.4.3 zeigt, dass {1, σ, σ 2 , . . . , σ n−1 } linear unabhängig in L L ist, also
gibt es ein γ ∈ L mit
β := δ 0 γ + δ 1 σ(γ) + · · · + δ n−2 σ n−2 (γ) + δ n−1
}{{}
=1
Jetzt zeigt ασ(δ j ) = δ j+1 für j = 0, . . . , n − 2, dass
σ(β) = α −1( δ 1 σ(γ) + · · · + δ n−1 σ n−1 (γ) ) +
σ n−1 (γ) ≠ 0.
σ n (γ)
} {{ }
=γ=α −1 δ 0γ
= α −1 β.
⊓⊔
Korollar 5.4.20. Sei L/K eine Galoiserweiterung und [L : K] = p prim. Wenn K
eine primitive p-te Einheitswurzel enthält, dann ist L/K rein.