Skript - Universität Paderborn

5.3 Primitive Einheitswurzeln 97
Lemma 5.2.20. Sei G eine Gruppe und H ✂ G ein Normalteiler. Wenn H und
G/H auflösbar sind, dann ist auch G auflösbar.
Beweis. Sei H ⊃ H 1 ⊃ . . . ⊃ H n = {1} eine Kette von Untergruppen mit H j−1 /H j
abelsch. Daraus konstruiert man die Kette G/H ⊃ G 1 /H ⊃ . . . ⊃ G l /H = H/H =
{1} von Untergruppen mit (G k−1 /H)/(G k /H) ∼ = G k−1 /G k abelsch und setzt das
Ganze zusammen zu
G ⊃ G 1 ⊃ . . . ⊃ G l = H ⊃ H 1 ⊃ . . . ⊃ H n = {1}.
Jetzt folgt die Behauptung aus Satz 5.2.19.
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Lemma 5.2.21. Sei G eine auflösbare Gruppe und H ✂ G ein Normalteiler. Dann
sind H und G/H auflösbar.
Beweis. Dies folgt aus H (j) ⊆ G (j) und ( G/H ) (j)
= G (j) H/H.
⊓⊔
Satz 5.2.22. Sei K ein Körper der Charakteristik char(K) = 0 und f ∈ K[X] durch
Radikale auflösbar. Weiter sei K = B 0 ⊆ B 1 ⊆ . . . ⊆ B r ein Körperturm mit
(a) B j = B j−1 (α j ) mit α nj
j ∈ B j−1 .
(b) B r enthält den Zerfällungskörper L von f und ist selbst ein Zerfällungskörper.
Wenn K alle p-ten Einheitswurzeln für alle Primteiler der n 1 , . . . , n r enthält,
dann ist Gal K (f) auflösbar.
Beweis. Nach Lemma 5.2.17 können wir annehmen, dass B r selbst Zerfällungskörper
eines Polynoms g ∈ K[X] ist. Nach Proposition 5.2.4 können wir weiter annehmen,
dass alle n j prim sind und nach Proposition 5.2.3 schließlich auch noch, dass
[B j : B j−1 ] = n j .
Setze G j := Gal(B r /B j ). Wegen Lemma 5.2.2 ist X n j
− α n j
j irreduzibel und
B j = B j−1 (α 1 ) der Zerfällungskörper von X nj − α n j
j über B j−1 . Mit Satz 5.2.14
finden wir
G j = Gal(B r /B j ) ✂ Gal(B r /B j−1 ) = G j−1
und mit Proposition 5.2.11
G j−1 /G j
∼ = Gal(Bj /B j−1 ) ∼ = Z/n j Z.
Aber dann sagt Lemma 5.2.20, dass G 0 = Gal(B r /K) auflösbar ist und Satz 5.2.14
liefert die Isomorphie Gal K (f) = Gal(L/K) ∼ = Gal(B r /K)/Gal(B r /L). Schließlich
zeigt Lemma 5.2.21 die Auflösbarkeit von Gal(B r /K)/Gal(B r /L), was dann die
Behauptung beweist.
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5.3 Primitive Einheitswurzeln
Satz 5.3.1. Sei K ein Körper und G eine endliche Untergruppe der multiplikativen
Gruppe des Körpers. Dann ist G zyklisch.
Beweis. Sei |G| = n und d | n. Wir behaupten, dass höchstens eine zyklische Untergruppe
C von G mit |C| = d gibt. Sei dazu g ∈ G mit ord(g) = d. Dann gilt y d = 1
für alle y in der von g erzeugten zyklischen Gruppe 〈g〉 (das sind d Stück). Wenn 〈g〉
nicht die einzige zyklische Gruppe mit d Elementen ist, dann gibt es d + 1 Elemente
z ∈ G mit z d = 1, was dazu führt, dass X d − 1 mindestens d + 1 Nullstellen hat.
Dieser Widerspruch beweist die Behauptung.